Progresiones aritméticas: Sucesiones de diferencia constante 

Progresión aritmética

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término es obtenido sumando al término anterior una cantidad fija $$d$$. El valor de $$d$$ puede ser positivo y negativo y se le conoce como diferencia de la sucesión. 

$$a_n=a_{n-1}+d$$

Ejemplo

Índica si la siguiente sucesión es una progresión aritmética: $$\it4,7,10,13,...$$

Debes restar a cada término su anterior, si siempre se obtiene el mismo número se trata de una progresión aritmética.

$$13-10=3$$​

$$10-7=3$$​

$$7-4=3$$​​​​

Al restar cada término al anterior siempre se obtiene el mismo valor, por tanto, es una progresión aritmética. 

Suma de los términos de una progresión aritmética

La suma, $$S_n$$, de los términos de una progresión aritmética viene dada por:

$$S_n=\frac{a_1 +a_n}{2} \cdot n$$​​

Ejemplo

Para vallar un terreno de un metro de lado se necesitan cuatro metros de valla. Se quieren vallar veinte terrenos y cada uno de estos tiene un metro de lado más que el anterior. ¿Cuántos metros de valla se necesitan para vallar los terrenos?

$$a1=4$$ y $$d=4$$​​

Por tanto, $$a_n=4+(n-1) \times 4.$$ De modo que, los metros de valla necesarios para vallar el último terreno son:

 $$a_{20}=4+(20-1) \cdot 4=80$$​

​

Por último, debes hallar la suma de los veinte términos de la progresión aritmética:

$$S_{20}=\frac{4 +80}{2} \cdot 20=840$$​ 

Para vallar todos los terrenos se necesitan $$\underline{840}$$ metros de valla. 

​