¿Qué se hace con los exponentes en multiplicación y división de potencias?

En la multiplicación los exponentes se suman, mientras que en la división, se restan.

¿Deben tener el mismo exponente para aplicarlas?

Depende, para potencias con misma base se aplicarán unas propiedades, mientras que para distinta base, otras. Aunque las de distinta base, aplican a todas las potencias.

¿Para que sirven las propiedades de las potencias?

Sirven para realizar multiplicaciones o divisiones con mayor facilidad entre potencias.

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Matemáticas

Propiedades de las potencias

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Propiedades de las potencias

Potencia de una multiplicación

La potencia de una multiplicación de dos números enteros $a$ y $b$ es igual al producto de las potencias de sus factores.

$(a·b)^n=a^n·b^n$

Ejemplo

$(2\cdot5)^2=10^2=2^2\cdot 5^2=100$

Potencia de una división

La potencia de la división de dos números enteros $a$ y $b$ es igual al cociente de la potencia del dividendo entre la potencia del divisor.

$(a:b)^n=a^n:b^n$

Ejemplo

$(10\colon5)^3=2^3=8 \Leftrightarrow (10\colon5)^3=10^3\colon5^3=1000\colon125=8$

Producto de potencias de la misma base

El producto de potencias de la misma base es igual a otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores.

$a^n·a^m=a^{n+m}$

Ejemplo

$3^3\cdot3^2=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=3^5=243$

Cociente de potencias de la misma base

El cociente de potencias de la misma base es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente es igual a la resta de los exponentes de los factores.

$a^n:a^m=a^{n-m}$

Ejemplo

$7^7\colon7^4=\cfrac{\cancel{7}\cdot\cancel7\cdot\cancel7\cdot\cancel7\cdot7\cdot7\cdot7}{\cancel7\cdot\cancel7\cdot\cancel7\cdot\cancel7}=7\cdot7\cdot7=7^3=343$

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia es igual a una potencia de la misma base, cuyo exponente es igual a la multiplicación de los exponentes de los factores.

$(a^n)^m=a^{n·m}$

Ejemplo

$(6^3)^2=6^{3\cdot2}=6^{6}=46656$

Exponente 0

Cualquier potencia con base distinta de 0 elevada a 0 es igual a 1.

$a^0=1$

Ejemplo

$7^0=1$

Propiedades de las potencias

Potencia de una multiplicación

La potencia de una multiplicación de dos números enteros $a$ y $b$ es igual al producto de las potencias de sus factores.

$(a·b)^n=a^n·b^n$

Ejemplo

$(2\cdot5)^2=10^2=2^2\cdot 5^2=100$

Potencia de una división

La potencia de la división de dos números enteros $a$ y $b$ es igual al cociente de la potencia del dividendo entre la potencia del divisor.

$(a:b)^n=a^n:b^n$

Ejemplo

$(10\colon5)^3=2^3=8 \Leftrightarrow (10\colon5)^3=10^3\colon5^3=1000\colon125=8$

Producto de potencias de la misma base

El producto de potencias de la misma base es igual a otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores.

$a^n·a^m=a^{n+m}$

Ejemplo

$3^3\cdot3^2=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=3^5=243$

Cociente de potencias de la misma base

El cociente de potencias de la misma base es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente es igual a la resta de los exponentes de los factores.

$a^n:a^m=a^{n-m}$

Ejemplo

$7^7\colon7^4=\cfrac{\cancel{7}\cdot\cancel7\cdot\cancel7\cdot\cancel7\cdot7\cdot7\cdot7}{\cancel7\cdot\cancel7\cdot\cancel7\cdot\cancel7}=7\cdot7\cdot7=7^3=343$

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia es igual a una potencia de la misma base, cuyo exponente es igual a la multiplicación de los exponentes de los factores.

$(a^n)^m=a^{n·m}$

Ejemplo

$(6^3)^2=6^{3\cdot2}=6^{6}=46656$

Exponente 0

Cualquier potencia con base distinta de 0 elevada a 0 es igual a 1.

$a^0=1$

Ejemplo

$7^0=1$

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Potencias: Base y exponente

Sobre la lección

Potencias de base 10

Sobre la lección

Potencias: Base y exponente

Sobre la lección

Logaritmos: Base y exponente

Sobre la lección

Preguntas frecuentes (FAQ)

FAQs

Pregunta: ¿Qué se hace con los exponentes en multiplicación y división de potencias?

Respuesta: En la multiplicación los exponentes se suman, mientras que en la división, se restan.
Pregunta: ¿Deben tener el mismo exponente para aplicarlas?

Respuesta: Depende, para potencias con misma base se aplicarán unas propiedades, mientras que para distinta base, otras. Aunque las de distinta base, aplican a todas las potencias.
Pregunta: ¿Para que sirven las propiedades de las potencias?

Respuesta: Sirven para realizar multiplicaciones o divisiones con mayor facilidad entre potencias.

Teoría

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