Permutaciones con y sin repetición

Permutaciones

Las permutaciones son aquellas agrupaciones en las que sí que importa el orden, es decir agrupaciones que se producen en eventos dependientes.

Principio de multiplicación

El principio de multiplicación se utiliza cuando las acciones son independientes entre sí y no excluyentes.

"Si un evento A se puede realizar de $$m$$​ formas distintas y un evento B se puede realizar de m$$n$$​ formas diferentes, el número total de formas en que pueden ocurrir A y B se calcula multiplicando $$m·n$$"

Principio de adición

El principio de adición se utiliza cuando las acciones sí son dependientes, ya que existen diferentes alternativas de realizarse y excluyentes entre sí.

"Si un evento A puede realizarse de $$m$$​ formas distintas y un evento B de $$n$$​ formas diferentes, pero si ocurre uno no puede ocurrir el otro, entonces el número total de formas en pueden ocurrir A o B se calcula sumando $$m+n$$"

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Permutaciones sin repetición 

Las permutaciones sin repetición $$P_n$$ de $$n$$ elementos, son los diferentes grupos de $$n$$​ elementos que puedes formar sabiendo que estos grupos se diferencian en el orden de sus elementos.

​$$P_n=n!=n·(n-1)·(n-2)...·3·2·1$$​​

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Ejemplo

Tienes 3 exámenes que estudiar: Biología, Matemáticas y Lengua. Si primero eliges estudiar Biología, luego puedes estudiar Matemáticas o Lengua, y si eliges Matemáticas de segunda opción, por último eliges Lengua. Lo único que varía es el orden en el que eliges estudiar las asignaturas. ¿Cuántas órdenes distintos para estudiar tienes? 

$$3!=3\cdot 2\cdot 1=\underline{6 \text{ posibilidades distintas de ordenar las 3 asignaturas}}$$​

Permutaciones con repetición 

Las permutaciones con repetición $$PR_n^{ab,c...k}$$​ de $$n$$ elementos, son los diferentes grupos de $$n$$ elementos que se pueden formar y donde existen elementos repetidos. 

​$$PR_n^{a,b,c...k}= \cfrac{n!}{a!·b!·c!·...·k!}$$​

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​El primero elemento se repite $$a$$​​ veces, el segundo elemento $$b$$​ veces y así hasta el último elemento que se repite $$k$$​ veces $$(n = a + b + c + ... + k)$$​

​Ejemplo

Tienes 5 libros: dos de Biología, dos de Lengua y 1 de Matemáticas, y los quieres ordenar. 

En total tienes 5 libros, pero el de Biología se repite dos veces, el de Lengua otras 2 y el de Matemáticas solo 1. Por tanto, las opciones que tienes de ordenarlos son:

 $$PR^{2,2,1}_5=\cfrac{5!}{2!·2!·1!}=\cfrac{120}{4} = \underline{\text{30 opciones}}$$

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