Tendencia y periodicidad de una función

Tendencia y periodicidad

La tendencia y periodicidad en una función permite obtener información sobre las propiedades de la función en zonas no representadas gráficamente a partir de las que sí están representadas. 

Tendencia

Una función $$y=f(x)$$​ tendrá tendencia hacia $$y_0$$​ si los valores de la variable ​$$y$$​ se acercan cada vez más a $$y_0$$​ a medida que el valor de $$x$$​ tiende a su vez hacia un valor $$x_0$$​.

Ejemplo

Estudia la tendencia de la siguiente función:

La función $$y=f(x)$$​ tiende a $$x=0$$​, ya que los valores de $$x$$​ cada vez se aproximan más a $$0$$​ a medida que aumentan los valores de $$y$$​, es decir, a medida que $$y$$​ tiende a $$\infty$$​.

Periodicidad

Una función $$y=f(x)$$​ es periódica si sus valores de $$y$$ se repiten de forma continua cada cierto intervalo de valores de $$x$$. La longitud de este intervalo es el periodo ($$T$$​), que siempre es mayor que $$0$$​. 

Ejemplo

La siguiente función es periódica ya que sus valores de se repiten cada cierto intervalo de $$x$$​, en este caso con un valor de $$T=1$$:

Todas las funciones periódicas cumplen la siguiente condición para todos los valores de $$x$$, siendo $$n$$ un número natural:

​$$f(x)=f(x+T)=f(x+2T)=f(x+3T)=...=f(x+nT)$$​​

Ejemplo

Indica si la función $$f(x)=sen(x)$$ es periódica, teniendo en cuenta que tendría periodo $$T=2\pi$$.

Sustituye varios valores de $$x$$ para ver si cumple la condición:

Para $$x=0$$:

$$f(0)=sen(0)=sen(0+2\pi)=sen(0+2·2\pi)=...=0$$​​

Para $$x=3$$:

$$f(3)=sen(3)=sen(3+2\pi)=sen(3+2·2\pi)=...=0{,}1411...$$​​

Para $$x=-1$$:

$$f(-1)=sen(-1)=sen(-1+2\pi)=sen(-1+2·2\pi)=...=0{,}8414...$$​​

La función es periódica porque cumple la condición para cualquier valor de $$x$$​.