Proporcionalidad simple: Regla de tres directa e inversa

Resolver problemas de proporcionalidad

Cuando te enfrentes a este tipo de problemas debes seguir una serie de pasos:

PROCEDIMIENTO

Identifica el tipo de proporcionalidad asociado al problema, puede ser directa o inversa.
Si es directa, iguala las fracciones.
Si es inversa, iguala las fracciones, pero da la vuelta a una de ellas (no importa cuál).
Despeja la incógnita y resuelve.

Recuerda que: Todos los valores que vayan a un lado de la igualdad tienen las mismas unidades.

Proporcionalidad directa

Es la relación directa entre el aumento o disminución de dos o más valores, es decir, cuando aumenta (o disminuye) uno, el otro también lo hace, y en la misma proporción.

Manzanas $(\bold{kg})$	$2$	$3$
Euros $(\bold €)$	$0,60$	$0,90$
Razón directa $(\bold r)$	$\cfrac{2}{0,60}$	$\cfrac{3}{0,90}$

Si operamos, obtenemos que la razón es:

$r=\cfrac2{0,60}=\cfrac{3}{0,90}=3,33...$

Recuerda que: La relación entre los valores se llama razón o constante de proporcionalidad directa $(r)$ y siempre es la misma.

Ejemplo

Si un coche tarda $5 \space horas$ en realizar $300\space km$ , ¿cuánto tardará en recorrer $600\space km$ ?

Primero, hay que identificar si la relación es directa o inversa. Como cuantos más kilómetros a recorrer, más tiempo se tardará en recorrerlos, la relación entre kilómetros y horas es directa.

Segundo, hay que saber diferenciar qué horas están asociadas a qué kilómetros, para posteriormente ordenar los valores como igualdad de dos fracciones.

Se sabe que $5\space \rm horas$  está asociado a los $300 \space \text{km}$ , mientras que no sabemos cuánto tiempo se tarda en recorrer $600 \space\rm km$ , por lo tanto lo llamaremos $x$ :

$\cfrac{5}{300}= \cfrac{x}{600}$

Por último, se resuelve la ecuación con una incógnita multiplicando en cruz y despejando:

$x=\cfrac{5\space·\space600}{300}=\cfrac{3000}{300}=\underline{30 \space \text{horas}}$

Proporcionalidad inversa

Es la relación inversa entre el aumento o disminución de dos o más valores, es decir, cuando aumenta uno, el otro disminuye (y viceversa), y en la misma proporción.

Velocidad $\bf(km/h)$	$60$	$80$
Tiempo $\bf (h)$	$10$	$7,5$
Razón inversa $\bf (k)$	$60 \cdot10$	$80 \cdot 7,5$

Si operamos, obtenemos que la razón es:

$k=60 \cdot10=80 \cdot 7,5=600$

Recuerda que: La relación entre los valores se llama razón o constante de proporcionalidad inversa $(k)$ .

Ejemplo

Si un grupo de $10$ amigos ha tardado $5 \ min$ en comerse una pizza, ¿Cuánto tardarán $2$ amigos en comerse la misma cantidad de pizza?

Primero, hay que identificar si es directa o inversa. Si son menos personas para comer la misma cantidad de pizza, tardarán más tiempo, por lo tanto es: inversa.

Segundo, hay que saber diferenciar qué amigos están relacionados con qué tiempos, para posteriormente ordenar los valores como igualdad de fracciones.

Se sabe que $10\space\rm amigos$  está asociado a $5\min$ , mientras que no sabemos cuanto tiempo tardarán $5\space\rm amigos$ , por lo tanto, lo llamaremos $x$ :

$\cfrac{10}{2}= \cfrac{5}{x}$

Como se trata de un problema de proporcionalidad inversa, le debes dar la vuelta a una de las fracciones.

$\cfrac{10}{2}= \cfrac{x}{5}$

Por último, se resuelve la ecuación:

$x=\cfrac{10\space·\space5}{2}=\underline{25\space \text{minutos}}$