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Ecuación de la recta: Cálculo y posición relativa

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Vídeo Explicativo

Docente: Pablo

Resumen


Ecuación de la recta: Cálculo y posición relativa

Ecuación de la recta

Es la función lineal (expresión matemática) que origina la gráfica (dibujo en la cuadrícula) de una recta. Todas las rectas obedecen a la misma ecuación general o explícita:

​y=mx+by=mx + by=mx+b​


Truco: A veces, la ecuación de la recta no está exactamente así. Puede ser, por ejemplo, 2x+3y−7=0\it 2x +3y-7=02x+3y−7=0 . A esto se le conoce como ecuación implícita. Es igual que la otra solo que tienes que operar para ponerla en forma general, está como "escondida" .


Cálculo y condiciones​

Ya has visto que para conocer una recta necesitas obtener la mmm y la bbb pero, en la mayoría de los casos, no tienes la gráfica. La pendiente y la ordenada en el origen son ahora tus incógnitas y, para encontrar 2\bold 22 incógnitas, necesitas dos condiciones o datos. Vas a ver los dos casos posibles:


Te dan un punto de la recta  y su pendiente/ordenada

Procedimiento

1.

Sustituyes la pendiente (mmm) o la ordenada en el origen (bbb), según cual te den de las dos en tu ecuación general para cualquier recta:

y=mx+by=mx+by=mx+b​​

2.

Sustituyes también el punto que te dan, el cuál está siempre escrito en la forma (x,y)(x, y)(x,y). Con esto, obtienes una ecuación de primer grado con una incógnita, que es la constante que te falta.​

3.

Resuelves la ecuación. Ahora ya sabes mmm y bbb y puedes escribir la ecuación de la recta.​


Te dan dos puntos de la recta

Procedimiento

​​1.

Escribe dos ecuaciones generales para cualquier recta y sustituyes cada punto en una.

2.

Has obtenido un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, mmm​ y bbb.​

3.

Lo resuelves y, con tus soluciones para mmm y bbb , escribes la ecuación de tu recta.​


Ejemplo

Calcula la ecuación de la recta que tiene pendiente 5\it55 y pasa por el punto (1,−3)\it(1, -3)(1,−3).


Como te dice la pendiente, sabes que m=5\it m=5m=5. La sustituyes en la ecuación general: y=mx+b⟶y=5x+b\it y=mx+b \longrightarrow y=5x+by=mx+b⟶y=5x+b​

Sustituyes el punto (x,y)=(1,−3)⟶y=5x+b→−3=5×1+b\it (x, y)=(1,-3) \longrightarrow \it y=5x+b \rightarrow-3=5\times1+b(x,y)=(1,−3)⟶y=5x+b→−3=5×1+b

Resuelves la ecuación: −3=5×1+b→b=−8\it -3=5\times1+b \rightarrow b=-8−3=5×1+b→b=−8

Ya tienes mmm y bbb , puedes escribir la ecuación de la recta que es y=5x−8‾\it\underline{ y=5x-8}y=5x−8​.

 

​​

Posición relativa de dos rectas a partir de las ecuaciones

Si entiendes bien el significado de la pendiente y la ordenada en el origen, puedes saber la posición relativa entre dos rectas viendo sus ecuaciones:

​​Coincidentes

​m=m′b=b′\begin{aligned}m&=m^\prime\\b&=b^\prime\end{aligned}mb​=m′=b′​​​

Si dos rectas tienen la misma pendiente y la misma ordenada en el origen, entonces tendrán la misma ecuación. Recorren los mismos puntos y ¡serán la misma recta!

Paralelas

​m=m′b≠b′\begin{aligned}m&=m^\prime\\b&\ne b^\prime\end{aligned}mb​=m′=b′​​​

Si tienen la misma pendiente, tienen la misma inclinación. Al tener diferentes ordenadas en el origen, tendrán distinta ecuación y recorrerán distintos puntos. Son rectas paralelas. 

Secantes

​m≠m′m\ne m^\primem=m′​​
Si tienen distinta inclinación, las rectas se cruzarán en cualquier momento. Sea cual sea su ordenada en el origen, son secantes.


​​​​​

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Preguntas frecuentes

¿Cuándo dos rectas son secantes?

Si tienen distinta inclinación, las rectas se van a a cruzar en cualquier momento. Por lo tanto, independientemente de su ordenada en el origen, son secantes.

¿Cuándo dos rectas son coincidentes?

Si dos rectas tienen la misma pendiente y la misma ordenada en el origen, entonces tendrán la misma ecuación. Por lo tanto, recorren los mismo puntos y ¡serán la misma recta!

¿Cuándo dos rectas son paralelas?

Si tienen la misma pendiente, tienen la misma inclinación. Al tener diferentes ordenadas en el origen, tendrán distinta ecuación y recorrerán distintos puntos. Por lo tanto, son rectas paralelas.

¿Qué es la ecuación de una recta?

Es la función lineal (expresión matemática) que origina la gráfica (dibujo en la cuadrícula) de una recta. Todas las rectas obedecen a la misma ecuación general o explícita: y = mx + b

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