Método de sustitución, igualación y reducción

Resolver sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineal de dos ecuaciones de primer grado puede resolverse empleando tres métodos, pero en ocasiones uno puede ser más sencillo que los demás.
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Método de sustitución

Tienes que despejar una incógnita de una de las dos ecuaciones y sustituir el resultado en la otra ecuación.

Ejemplo

Resuelve el sistema de ecuaciones empleando el método de sustitución:

​$$\begin{aligned}6x-3y &= -15\\2x+7y &=3\end{aligned}\Bigg\rbrace$$​​

Despeja la incógnita que quieras, pero en este caso la $$y$$ de la primera es más sencilla, ya que al despejar puedes simplificar.
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​$$\begin{aligned}6x-3y &= -15\\2x+7y &=3\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow y = -\left ( \frac{-15-6x}{3}\right) = 5+2x$$​​

A continuación, sustituye esa expresión en la $$y$$ de la otra ecuación para obtener una ecuación de una incógnita:

$$2x+7(5+2x) =3 \newline2x+35+14x=3 \newline16x+35=3\newline x=-2$$​​

Ahora que tienes el valor de $$x$$ puedes sustituirlo en la otra ecuación para obtener $$y$$:

​$$y=5+2x\newline y=5+2(-2)=1$$​​

La solución de este sistema es$$\underline{(x,y;)=(-2,-1)}$$.

Método de igualación

Tienes que despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y luego igualar las dos expresiones.

Ejemplo

Resuelve el sistema de ecuaciones empleando el método de igualación:

​$$\begin{aligned}2x+3y &= -3\\3x+5y &=-6\end{aligned}\Bigg\rbrace$$​​

Se despeja la $$x$$ (pero también podrías despejar la $$y$$) y se igualan las dos expresiones:

​$$\begin{aligned}2x+3y &= -3\\3x+5y &=-6\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}x &= \frac{-3-3y}{2}\\x &=\frac{-6-5y}{3}\end{aligned}\Bigg\rbrace$$​​

​$$\cfrac{-3-3y}{2}=\cfrac{-6-5y}{3}$$​​
​$$3(-3-3y)=2(-6-5y)\newline-9-9y = -12-10y\newline-9+12=-10y+9y\newline y=-3$$​​

Sustituye el valor de $$y$$ en cualquier ecuación para averiguar el valor de $$x$$.

​$$2x+3y=-3\newline2x+3(-3)=-3\newline2x-9=-3\newline2x=6\implies x=3$$​​

​Así llegas a la solución $$\underline{(x,y;)=(3,-3)}$$.

Método de reducción

Tienes que multiplicar las ecuaciones para que el coeficiente de una de las dos incógnitas sea igual pero del signo contrario. Así puedes sumar las dos ecuaciones para eliminar una incógnita.

Ejemplo

Resuelve el sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción:

$$\begin{aligned}3x+2y &= 1\\7x+3y &=-1\end{aligned}\Bigg\rbrace$$​​

​El m.c.m. de la $$x$$​ es $$21$$​​ y el de la $$y$$​​ es $$6$$​​, por lo tanto se busca eliminar la ​$$y$$​ para que los números sean más pequeños y sencillos. La multiplicación afecta a ambos lados de la igualdad:

​$$\begin{aligned}3(3x+2y &=1) \\-2(7x+3y &=-1)\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}9x+6y &= 3\\-14x-6y &=-2\end{aligned}\Bigg\rbrace\def\arraystretch{1}$$​​

Ahora pueden sumarse las dos ecuaciones y obtener un resultado con una única incógnita:

$$\def\arraystretch{1} \begin{array}{c} \begin{aligned}9x+6y &= 3\\-14x-6y &=-2\end{aligned}\\ \hline -5x+0y =5\\ \newline x=-1 \end{array}$$​​

Una vez que has calculado $$x$$ puedes sustituir su valor en otra ecuación para calcular la segunda incógnita:

​$$7x+3y=-1\newline7(-1)+3y=-1\newline3y=6\newline y=2$$​​

Por lo tanto la solución del sistema es $$\underline{(x,y;)=(-1,2)}$$.

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