Funciones lineales: Afines y de proporcionalidad directa

Funciones afines

Las funciones afines tienen la forma $y=f(x)=mx+n$ , pudiendo ser $m$ y $n$ cualquier número excepto $m=0$ . Su representación gráfica es una línea recta, y en ella $n$ y $m$ tienen el siguiente significado:

Ordenada en el origen

Es el punto de corte con el eje $y$ y depende del valor de $n$ : será el punto $(0,n)$ .

Ejemplo

Indica el punto de corte con el eje $y$ de la siguiente función:

$y=4x+5$ .

Como esta recta sigue la forma $y=mx+n$ , entonces:

$n=5$ .

Por tanto, su punto de corte con el eje $y$ es el $\underline{(0,5)}$ .

Pendiente

La pendiente o $m$ determina la inclinación de la recta y permite estudiar la monotonía de la función a partir de su signo:

Si $m<0$	La función es estrictamente decreciente.
Si $m=0$	La función es constante.
Si $m>0$	La función es estrictamente creciente.

Ejemplo

Estudia la monotonía de la siguiente función: $f(x)=-2x+1$ .

Como $m<0$ , la función será estrictamente decreciente en todo su dominio.

Función de proporcionalidad directa

Las funciones lineales son un caso especial de función afín en la que $n=0$ . Es decir, tendrán forma $y=mx$ . Por tanto, estas funciones cortarán el eje $y$ en el origen de coordenadas $(0,0)$ . También reciben el nombre de funciones de proporcionalidad directa, ya que en ellas ambas variables son directamente proporcionales.

Ejemplo

En la función lineal $y=2x$ , las variables son directamente proporcionales porque el valor de $x$ siempre será el doble que el de $y$ .

Dominio de las funciones

El dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales, $D(f)=\mathbb{R}$ .

Recorrido

El dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales, $R(f)=\mathbb{R}$ .