Funciones lineales: Afines y de proporcionalidad directa

Funciones afines

Las funciones afines tienen la forma $$y=f(x)=mx+n$$​, pudiendo ser $$m$$​ y $$n$$cualquier número excepto $$m=0$$​. Su representación gráfica es una línea recta, y en ella $$n$$ y $$m$$ tienen el siguiente significado:

Ordenada en el origen

Es el punto de corte con el eje $$y$$​ y depende del valor de $$n$$: será el punto $$(0,n)$$​.

Ejemplo

Indica el punto de corte con el eje $$y$$ de la siguiente función:

 $$y=4x+5$$.

Como esta recta sigue la forma $$y=mx+n$$, entonces:

 $$n=5$$.

Por tanto, su punto de corte con el eje $$y$$ es el $$\underline{(0,5)}$$.

Pendiente

La pendiente o $$m$$ determina la inclinación de la recta y permite estudiar la monotonía de la función a partir de su signo:

Ejemplo

Estudia la monotonía de la siguiente función: $$f(x)=-2x+1$$.

Como $$m<0$$​, la función será estrictamente decreciente en todo su dominio.

Función de proporcionalidad directa

Las funciones lineales son un caso especial de función afín en la que $$n=0$$​. Es decir, tendrán forma $$y=mx$$​. Por tanto, estas funciones cortarán el eje $$y$$ en el origen de coordenadas $$(0,0)$$​. También reciben el nombre de funciones de proporcionalidad directa, ya que en ellas ambas variables son directamente proporcionales.

Ejemplo

En la función lineal $$y=2x$$​, las variables son directamente proporcionales porque el valor de $$x$$​ siempre será el doble que el de $$y$$​.

Dominio de las funciones 

El dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales, $$D(f)=\mathbb{R}$$​.

Recorrido

​El dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales, ​$$R(f)=\mathbb{R}$$​.