¿Puede la razón de la sucesión, r, ser negativa?

La constante fija conocida como razón de la sucesión puede adquirir tanto valores positivos como negativos.

¿Cómo saber si una sucesión es una progresión geométrica?

Una sucesión es una progresión geométrica cuando al dividir cada término entre el término anterior se obtiene siempre el mismo número.

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Matemáticas

Progresiones geométricas: Sucesiones de razón constante

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Progresiones geométricas: Sucesiones de razón constante

Definición

Se conoce como progresión geométrica a aquella sucesión cuyos términos son obtenidos a partir del término anterior multiplicándolo por $r$ , una constante fija. La constante $r$ se conoce como razón de la sucesión y puede adquirir valores positivos y negativos.

$a_n=a_{n-1}\times r$

El término general de una progresión geométrica, siendo $a_1$ el primer término y $r$ su razón, es:

$a_n=a_1 \times r^{(n-1)}$

Ejemplo

María quiere ahorrar para comprarse una casa. Para ello ahorra un céntimo el primer año, dos céntimos el segundo, cuatro céntimos el tercero, ocho céntimos el cuarto; y así durante $25$ años. ¿Cuánto habrá ahorrado a los $25$ años?

Se trata de una progresión geométrica, dado que al dividir cada término entre el anterior se obtiene siempre el mismo número:

$\frac{0,02}{0,01}=\frac{0,04}{0,02}=...=2$

$a_1=0,01$ y $r=2$ . Por tanto, el término general es:

$a_n=0,01\times 2^{(n-1)}$ .

A los veinticinco años ( $n=25$ ), María habrá ahorrado:

$a_{31}=0,01\times 2^{(25-1)}=\underline{167.772,16}$

Suma de los términos de una progresión geométrica

La suma, $S_n$ , de los términos de una progresión geométrica viene dada por:

$S_n= \frac{a_n\cdot r-a_1}{r-1}$

Ejemplo

Calcula la suma de las diez primeras potencias de $3$ .

$(a_n)=(1,3,9,27,81,...); a_n= 3^{(n-1)} \\ \quad \\$

 $S_{10}= \frac{a_{10}\cdot r-a_1}{r-1}=\frac{19683 \cdot 3-1}{3-1}=\underline{29.524}\\ \quad \\$

Progresiones geométricas: Sucesiones de razón constante

Definición

$a_n=a_{n-1}\times r$

El término general de una progresión geométrica, siendo $a_1$ el primer término y $r$ su razón, es:

$a_n=a_1 \times r^{(n-1)}$

Ejemplo

Se trata de una progresión geométrica, dado que al dividir cada término entre el anterior se obtiene siempre el mismo número:

$\frac{0,02}{0,01}=\frac{0,04}{0,02}=...=2$

$a_1=0,01$ y $r=2$ . Por tanto, el término general es:

$a_n=0,01\times 2^{(n-1)}$ .

A los veinticinco años ( $n=25$ ), María habrá ahorrado:

$a_{31}=0,01\times 2^{(25-1)}=\underline{167.772,16}$

Suma de los términos de una progresión geométrica

La suma, $S_n$ , de los términos de una progresión geométrica viene dada por:

$S_n= \frac{a_n\cdot r-a_1}{r-1}$

Ejemplo

Calcula la suma de las diez primeras potencias de $3$ .

$(a_n)=(1,3,9,27,81,...); a_n= 3^{(n-1)} \\ \quad \\$

 $S_{10}= \frac{a_{10}\cdot r-a_1}{r-1}=\frac{19683 \cdot 3-1}{3-1}=\underline{29.524}\\ \quad \\$

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Sobre la lección

Sucesiones de números reales

Sobre la lección

Preguntas frecuentes (FAQ)

FAQs

Pregunta: ¿Puede la razón de la sucesión, r, ser negativa?

Respuesta: La constante fija conocida como razón de la sucesión puede adquirir tanto valores positivos como negativos.
Pregunta: ¿Cómo saber si una sucesión es una progresión geométrica?

Respuesta: Una sucesión es una progresión geométrica cuando al dividir cada término entre el término anterior se obtiene siempre el mismo número.
Pregunta: ¿Qué es una progresión geométrica?

Respuesta: Es una sucesión cuyos términos son obtenidos a partir del término anterior multiplicándolo por una constante fija r.

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Progresiones geométricas: Sucesiones de razón constante

Progresiones geométricas: Sucesiones de razón constante

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Suma de los términos de una progresión geométrica

Ejemplo

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