Progresiones geométricas: Sucesiones de razón constante

​​Definición

Se conoce como progresión geométrica a aquella sucesión cuyos términos son obtenidos a partir del término anterior multiplicándolo por $$r$$, una constante fija. La constante $$r$$ se conoce como razón de la sucesión y puede adquirir valores positivos y negativos. ​

$$a_n=a_{n-1}\times r$$

El término general de una progresión geométrica, siendo $$a_1$$ el primer término y $$r$$ su razón, es:

​$$a_n=a_1 \times r^{(n-1)}$$​​

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Ejemplo

María quiere ahorrar para comprarse una casa. Para ello ahorra un céntimo el primer año, dos céntimos el segundo, cuatro céntimos el tercero, ocho céntimos el cuarto; y así durante $$25$$​ años. ¿Cuánto habrá ahorrado a los $$25$$ años?

Se trata de una progresión geométrica, dado que al dividir cada término entre el anterior se obtiene siempre el mismo número:

$$\frac{0,02}{0,01}=\frac{0,04}{0,02}=...=2$$

$$a_1=0,01$$ y $$r=2$$. Por tanto, el término general es:

$$a_n=0,01\times 2^{(n-1)}$$.

A los veinticinco años ($$n=25$$), María habrá ahorrado:

$$a_{31}=0,01\times 2^{(25-1)}=\underline{167.772,16}$$

Suma de los términos de una progresión geométrica

La suma, $$S_n$$, de los términos de una progresión geométrica viene dada por:

$$S_n= \frac{a_n\cdot r-a_1}{r-1}$$​​

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Ejemplo

Calcula la suma de las diez primeras potencias de $$3$$​. 

$$(a_n)=(1,3,9,27,81,...); a_n= 3^{(n-1)} \\ \quad \\$$

​$$S_{10}= \frac{a_{10}\cdot r-a_1}{r-1}=\frac{19683 \cdot 3-1}{3-1}=\underline{29.524}\\ \quad \\$$