Inicio

Matemáticas

Funciones

Monotonía y puntos extremos de una función

Seleccionar lección

Fracciones

Fracciones equivalentes: Amplificación y simplificación

Combinatoria

Técnicas de recuento: Multiplicación, adición y doble entrada

Permutaciones con y sin repetición

Variaciones con y sin repetición

Combinaciones y números combinatorios

Triángulo de Pascal-Tartaglia: Características y construcción

Binomio de Newton: Potencias de un binomio

Probabilidad

Experimentos deterministas y aleatorios

Sucesos: Definición, tipos y operaciones con sucesos

Regla de Laplace: Sucesos equiprobables

Probabilidad condicional: Dependencia de sucesos

Estadística

Población, muestra e individuo: Estudios estadísticos

Construcción de tablas de frecuencias absolutas y relativas

Medidas de localización: Moda, mediana y media

Medidas de dispersión: Rango, varianza y desviación típica

Estadística bidimensional: Definición y representación

Diagramas de dispersión: Grado y tipos de correlación

Ajuste por mínimos cuadrados: Regresión Lineal

Gráficos estadísticos: Diagramas de sectores, barras e histogramas

Vectores

Vectores: Definición, elementos y tipos

Operaciones con vectores: Suma, resta y producto

Componentes y representación de vectores

Dependencia y combinación lineal entre vectores

Trigonometría

Razones trigonométricas: Seno, coseno y tangente

Identidades o relaciones trigonométricas principales

Círculo goniométrico: Reducción al primer cuadrante

Teorema del seno y del coseno para cualquier triángulo

Cuerpos de revolución

Volúmenes de cuerpos de revolución: Cilindro, cono y esfera

Poliedros

Cálculo del área y volumen de poliedros

Polígonos

Cálculo del perímetro y área de polígonos

Circunferencias

Cálculo del perímetro y área de circunferencias

Triángulos

Cálculo del perímetro y área de triángulos

Teorema de Tales: Proporcionalidad entre segmentos

Cuadriláteros

Cálculo del perímetro y área de cuadriláteros

Transformaciones

Semejanza: Razón y criterios de semejanza

Otras funciones

Funciones a trozos: Expresión y representación gráfica

Funciones de valor absoluto: Expresión y representación gráfica

Función inversa o hipérbola: Expresión y representación gráfica

Función exponencial: Expresión y representación gráfica

Función logarítmica: Expresión y representación gráfica

Funciones trigonométricas: Expresión y representación gráfica

Funciones cuadráticas

Funciones parabólicas: Expresión y representación gráfica

Funciones lineales

Funciones lineales: Afines y de proporcionalidad directa

Funciones

Operaciones con funciones: Suma, resta, producto y cociente

Composición de funciones

Dominio y recorrido de una función

Simetría de las funciones: Par e Impar

Continuidad y discontinuidad de funciones

Puntos de corte con los ejes

Monotonía y puntos extremos de una función

Curvatura y puntos de inflexión de una función

Tendencia y periodicidad de una función

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Métodos de sustitución, igualación y reducción

Sistema de ecuaciones con tres incógnitas

Método de Gauss: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones no lineales

Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Sistema de inecuaciones con dos incógnitas

Inecuaciones

Inecuaciones algebraicas: Elementos y tipos

Inecuaciones de primer grado con una incógnita

Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita

Ecuaciones

Ecuaciones polinómicas de primer grado

Ecuaciones polinómicas de segundo grado

Ecuaciones polinómicas bicuadradas

Ecuaciones polinómicas de tercer grado

Ecuaciones polinómicas de cuarto grado o superior

Ecuaciones con expresiones radicales

Factorización

Factorización de polinomios

Identidades notables

Regla de Ruffini: División y factorización de polinomios

Teorema del factor

División de polinomios y teorema del resto

Expresiones algebraicas

Polinomios: Expresión, partes y grado

Operaciones con polinomios: Suma, resta, producto y cociente

Logaritmos

Logaritmos: Base y exponente

Raíces cuadradas

Radicales: Índice y radicando

Operaciones con radicales: Factorización

Potencias

Notación científica: Conversión y operaciones

Proporcionalidad y porcentajes

Porcentajes: Cálculo y significado

Números reales

Números racionales: Definición y tipos

Números reales: Definición y tipos

Vídeo Explicativo

Docente: Natalia

Resumen

Monotonía y puntos extremos de una función

Monotonía

La monotonía de una función determina si una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en un intervalo $(a,b)$

Una función es estrictamente creciente si el valor de la variable dependiente $y$ aumenta cuando se aumenta el valor de la variable independiente $x$ .
Una función es estrictamente decreciente si el valor de la variable dependiente $y$ disminuye cuando se aumenta el valor de la variable independiente $x$ .
Una función es constante si el valor de la variable dependiente $y$ se mantiene cuando se aumenta el valor de la variable independiente $x$ .

Ejemplo

Matemáticas; Funciones; 2. ESO; Monotonía y puntos extremos de una función

La función de la gráfica es estrictamente creciente en el intervalo $(-2,2)$ y estrictamente decreciente en los intervalos $(-\infty,-2)$ y $(2,\infty)$ .

Estudiar la monotonía de una función

Para determinar si una función $f(x)$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en el intervalo $(a,b)$ debe seguirse el siguiente procedimiento:

PROCEDIMIENTO

Escoge un par de valores, $x_1$ , $x_2$ , pertenecientes al intervalo, $(a,b)$ , y al Dominio de la función, siendo $x_1<x_2$ .

Sustituye estos valores en la función $f(x)$ .

Si $f(x_1)<f(x_2)$ , la función es estrictamente creciente.

Si $f(x_1)>f(x_2)$ , la función es estrictamente decreciente.

Ejemplo

Estudia la monotonía de la función $f(x)=3x+8$ en el intervalo $(-1,9)$ .

Como es una función polinómica y su dominio abarca todos los números reales, se puede estudiar la función en este intervalo.

Valores $x_1$  y $x_2$ :

$x_1=2;x_2=6$

Sustitución:

$f(x_1)=f(2)=3·2+8=14$

$f(x_2)=f(6)=3·6+8=26$

Análisis:

$f(2)<f(6)$ 

$\underline{\text{La función será estrictamente creciente en el intervalo} \space(-1,9)}$ 

Puntos extremos

Los puntos extremos de una función se denominan mínimos y máximos:

Una función $f(x)$ tiene un máximo relativo en el punto de abscisas $x=a$ si $f(a)$ es el mayor valor que toma la función en los puntos del entorno de $a$ .
Una función $f(x)$ tiene un mínimo relativo en el punto de abscisas $x=a$ si $f(a)$ es el menor valor que toma la función en los puntos del entorno de $a$ .

Se llama máximo absoluto de la función al mayor de sus máximos relativos. Equivalentemente, se llama mínimo absoluto al menor de sus mínimos relativos.

Ejemplo

La función tiene un mínimo relativo en $(1,1)$ y dos máximos relativos en $(-3,3)$ y $(5,5)$ . El punto $(5,5)$ es el máximo absoluto porque tiene el mayor valor de $y$ .

Aprende con lo básico

Duración:

Unidad 1

Ecuaciones polinómicas de cuarto grado o superior

Unidad 2

Funciones: Definición, elementos y tipos

Prueba de Avance

Opcional

Unidad 3

Monotonía y puntos extremos de una función

Prueba Final

Crear una cuenta para empezar los ejercicios

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia existe entre un máximo o mínimo relativo de un máximo o mínimo absoluto?

El máximo absoluto de una función es el punto con el mayor valor de y de todos los máximos relativos. El mínimo absoluto de una función es el punto con el menor valor de y de todos los mínimos relativos.

¿Cuáles son los puntos extremos de una función?

Son los puntos máximos y mínimos de una función. Los máximos son los puntos con el mayor valor de y de su entorno y los mínimos son los puntos con el menor valor de y de su entorno.

¿Qué es el estudio de la monotonía de una función?

Cuando se estudia la monotonía de una función se estudia si la función es creciente o decreciente, es decir, si aumenta o disminuye el valor de y, respectivamente, a lo largo del eje x.

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Función exponencial: Expresión y representación gráfica

Función logarítmica: Expresión y representación gráfica

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Funciones cuadráticas

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Composición de funciones

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Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Métodos de sustitución, igualación y reducción

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Sistemas de inecuaciones con una incógnita

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Monotonía

La monotonía de una función determina si una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en un intervalo $(a,b)$

Una función es estrictamente creciente si el valor de la variable dependiente $y$ aumenta cuando se aumenta el valor de la variable independiente $x$ .
Una función es estrictamente decreciente si el valor de la variable dependiente $y$ disminuye cuando se aumenta el valor de la variable independiente $x$ .
Una función es constante si el valor de la variable dependiente $y$ se mantiene cuando se aumenta el valor de la variable independiente $x$ .

Ejemplo

La función de la gráfica es estrictamente creciente en el intervalo $(-2,2)$ y estrictamente decreciente en los intervalos $(-\infty,-2)$ y $(2,\infty)$ .

Estudiar la monotonía de una función

Para determinar si una función $f(x)$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en el intervalo $(a,b)$ debe seguirse el siguiente procedimiento:

PROCEDIMIENTO

Escoge un par de valores, $x_1$ , $x_2$ , pertenecientes al intervalo, $(a,b)$ , y al Dominio de la función, siendo $x_1<x_2$ .

Sustituye estos valores en la función $f(x)$ .

Si $f(x_1)<f(x_2)$ , la función es estrictamente creciente.

Si $f(x_1)>f(x_2)$ , la función es estrictamente decreciente.

Ejemplo

Estudia la monotonía de la función $f(x)=3x+8$ en el intervalo $(-1,9)$ .

Como es una función polinómica y su dominio abarca todos los números reales, se puede estudiar la función en este intervalo.

Valores $x_1$  y $x_2$ :

$x_1=2;x_2=6$

Sustitución:

$f(x_1)=f(2)=3·2+8=14$

$f(x_2)=f(6)=3·6+8=26$

Análisis:

$f(2)<f(6)$ 

$\underline{\text{La función será estrictamente creciente en el intervalo} \space(-1,9)}$ 

Puntos extremos

Los puntos extremos de una función se denominan mínimos y máximos:

Una función $f(x)$ tiene un máximo relativo en el punto de abscisas $x=a$ si $f(a)$ es el mayor valor que toma la función en los puntos del entorno de $a$ .
Una función $f(x)$ tiene un mínimo relativo en el punto de abscisas $x=a$ si $f(a)$ es el menor valor que toma la función en los puntos del entorno de $a$ .

Se llama máximo absoluto de la función al mayor de sus máximos relativos. Equivalentemente, se llama mínimo absoluto al menor de sus mínimos relativos.

Ejemplo

La función tiene un mínimo relativo en $(1,1)$ y dos máximos relativos en $(-3,3)$ y $(5,5)$ . El punto $(5,5)$ es el máximo absoluto porque tiene el mayor valor de $y$ .

Aprende con lo básico

Duración:

Unidad 1

Ecuaciones polinómicas de cuarto grado o superior

Unidad 2

Funciones: Definición, elementos y tipos

Prueba de Avance

Opcional

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Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia existe entre un máximo o mínimo relativo de un máximo o mínimo absoluto?

¿Cuáles son los puntos extremos de una función?

Son los puntos máximos y mínimos de una función. Los máximos son los puntos con el mayor valor de y de su entorno y los mínimos son los puntos con el menor valor de y de su entorno.

¿Qué es el estudio de la monotonía de una función?

Cuando se estudia la monotonía de una función se estudia si la función es creciente o decreciente, es decir, si aumenta o disminuye el valor de y, respectivamente, a lo largo del eje x.