¡Poder ilimitado desbloqueado!

Consigue evulpo Unlimited ahora

¡Poder ilimitado desbloqueado!

Vídeos explicativos sin publicidad evulpo

Número ilimitado de ejercicios

Resúmenes para descargar

Estadísticas detalladas de aprendizaje

Informe semanal de tu progreso

Puedes cancelar en cualquier momento

A partir de 5.42 € /al mes

¡Benefíciate ahora de la suscripción anual!

Ahorra un 28%

~~6,99 €/mes~~

Ahorra un 28%

5€/mes

Resumen del capítulo

Objetivos de aprendizaje

Matemáticas

Monotonía y puntos extremos de una función

Tu progreso en la lección

Resumen

Descargar

Monotonía y puntos extremos de una función

Monotonía

La monotonía de una función determina si una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en un intervalo $(a,b)$

Una función es estrictamente creciente si el valor de la variable dependiente $y$ aumenta cuando se aumenta el valor de la variable independiente $x$ .
Una función es estrictamente decreciente si el valor de la variable dependiente $y$ disminuye cuando se aumenta el valor de la variable independiente $x$ .
Una función es constante si el valor de la variable dependiente $y$ se mantiene cuando se aumenta el valor de la variable independiente $x$ .

Ejemplo

Matemáticas; Funciones; 2. ESO; Monotonía y puntos extremos de una función

La función de la gráfica es estrictamente creciente en el intervalo $(-2,2)$ y estrictamente decreciente en los intervalos $(-\infty,-2)$ y $(2,\infty)$ .

Estudiar la monotonía de una función

Para determinar si una función $f(x)$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en el intervalo $(a,b)$ debe seguirse el siguiente procedimiento:

PROCEDIMIENTO

Escoge un par de valores, $x_1$ , $x_2$ , pertenecientes al intervalo, $(a,b)$ , y al Dominio de la función, siendo $x_1<x_2$ .

Sustituye estos valores en la función $f(x)$ .

Si $f(x_1)<f(x_2)$ , la función es estrictamente creciente.

Si $f(x_1)>f(x_2)$ , la función es estrictamente decreciente.

Ejemplo

Estudia la monotonía de la función $f(x)=3x+8$ en el intervalo $(-1,9)$ .

Como es una función polinómica y su dominio abarca todos los números reales, se puede estudiar la función en este intervalo.

Valores $x_1$  y $x_2$ :

$x_1=2;x_2=6$

Sustitución:

$f(x_1)=f(2)=3·2+8=14$

$f(x_2)=f(6)=3·6+8=26$

Análisis:

$f(2)<f(6)$ 

$\underline{\text{La función será estrictamente creciente en el intervalo} \space(-1,9)}$ 

Puntos extremos

Los puntos extremos de una función se denominan mínimos y máximos:

Una función $f(x)$ tiene un máximo relativo en el punto de abscisas $x=a$ si $f(a)$ es el mayor valor que toma la función en los puntos del entorno de $a$ .
Una función $f(x)$ tiene un mínimo relativo en el punto de abscisas $x=a$ si $f(a)$ es el menor valor que toma la función en los puntos del entorno de $a$ .

Se llama máximo absoluto de la función al mayor de sus máximos relativos. Equivalentemente, se llama mínimo absoluto al menor de sus mínimos relativos.

Ejemplo

La función tiene un mínimo relativo en $(1,1)$ y dos máximos relativos en $(-3,3)$ y $(5,5)$ . El punto $(5,5)$ es el máximo absoluto porque tiene el mayor valor de $y$ .

Monotonía y puntos extremos de una función

Monotonía

La monotonía de una función determina si una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en un intervalo $(a,b)$

Una función es estrictamente creciente si el valor de la variable dependiente $y$ aumenta cuando se aumenta el valor de la variable independiente $x$ .
Una función es estrictamente decreciente si el valor de la variable dependiente $y$ disminuye cuando se aumenta el valor de la variable independiente $x$ .
Una función es constante si el valor de la variable dependiente $y$ se mantiene cuando se aumenta el valor de la variable independiente $x$ .

Ejemplo

La función de la gráfica es estrictamente creciente en el intervalo $(-2,2)$ y estrictamente decreciente en los intervalos $(-\infty,-2)$ y $(2,\infty)$ .

Estudiar la monotonía de una función

Para determinar si una función $f(x)$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en el intervalo $(a,b)$ debe seguirse el siguiente procedimiento:

PROCEDIMIENTO

Escoge un par de valores, $x_1$ , $x_2$ , pertenecientes al intervalo, $(a,b)$ , y al Dominio de la función, siendo $x_1<x_2$ .

Sustituye estos valores en la función $f(x)$ .

Si $f(x_1)<f(x_2)$ , la función es estrictamente creciente.

Si $f(x_1)>f(x_2)$ , la función es estrictamente decreciente.

Ejemplo

Estudia la monotonía de la función $f(x)=3x+8$ en el intervalo $(-1,9)$ .

Como es una función polinómica y su dominio abarca todos los números reales, se puede estudiar la función en este intervalo.

Valores $x_1$  y $x_2$ :

$x_1=2;x_2=6$

Sustitución:

$f(x_1)=f(2)=3·2+8=14$

$f(x_2)=f(6)=3·6+8=26$

Análisis:

$f(2)<f(6)$ 

$\underline{\text{La función será estrictamente creciente en el intervalo} \space(-1,9)}$ 

Puntos extremos

Los puntos extremos de una función se denominan mínimos y máximos:

Una función $f(x)$ tiene un máximo relativo en el punto de abscisas $x=a$ si $f(a)$ es el mayor valor que toma la función en los puntos del entorno de $a$ .
Una función $f(x)$ tiene un mínimo relativo en el punto de abscisas $x=a$ si $f(a)$ es el menor valor que toma la función en los puntos del entorno de $a$ .

Se llama máximo absoluto de la función al mayor de sus máximos relativos. Equivalentemente, se llama mínimo absoluto al menor de sus mínimos relativos.

Ejemplo

La función tiene un mínimo relativo en $(1,1)$ y dos máximos relativos en $(-3,3)$ y $(5,5)$ . El punto $(5,5)$ es el máximo absoluto porque tiene el mayor valor de $y$ .

¿Atascado con la lección? Echa un vistazo a:

Funciones: Definición, elementos y tipos

Sobre la lección

Monotonía y puntos extremos de una función

Sobre la lección

Preguntas frecuentes (FAQ)

FAQs

Pregunta: ¿Qué diferencia existe entre un máximo o mínimo relativo de un máximo o mínimo absoluto?

Respuesta: El máximo absoluto de una función es el punto con el mayor valor de y de todos los máximos relativos. El mínimo absoluto de una función es el punto con el menor valor de y de todos los mínimos relativos.
Pregunta: ¿Cuáles son los puntos extremos de una función?

Respuesta: Son los puntos máximos y mínimos de una función. Los máximos son los puntos con el mayor valor de y de su entorno y los mínimos son los puntos con el menor valor de y de su entorno.
Pregunta: ¿Qué es el estudio de la monotonía de una función?

Respuesta: Cuando se estudia la monotonía de una función se estudia si la función es creciente o decreciente, es decir, si aumenta o disminuye el valor de y, respectivamente, a lo largo del eje x.

Teoría

Ejercicios

La protección de tus datos

Tanto nosotros, así como algunos de nuestros proveedores de servicios, utilizamos cookies y tecnologías similares para prestar nuestros servicios, personalizar el contenido y registrar el comportamiento del usuario. Al hacer clic en «Aceptar cookies» o «Solo las cookies necesarias», accedes a lo anterior (lee más acerca de ello en nuestra Política de privacidad). Política de privacidad

¡Poder ilimitado desbloqueado!

¡Poder ilimitado desbloqueado!

¡Benefíciate ahora de la suscripción anual!

Monotonía y puntos extremos de una función

Monotonía y puntos extremos de una función

Monotonía

Ejemplo

Estudiar la monotonía de una función

PROCEDIMIENTO

Ejemplo

Puntos extremos

Ejemplo

Monotonía y puntos extremos de una función

Monotonía

Ejemplo

Estudiar la monotonía de una función

PROCEDIMIENTO

Ejemplo

Puntos extremos

Ejemplo

¿Atascado con la lección? Echa un vistazo a:

Ya has leído este resumen. ¿Te atreves ahora con los ejercicios?