Operaciones con radicales: Factorización

Radicales equivalentes

Dos radicales son equivalentes si pueden expresarse como potencias de la misma base en las que las fracciones que forman los correspondientes exponentes son equivalentes

$\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[y]{a^x}\iff\cfrac{m}{n}=\cfrac{x}{y}$

Ejemplo

${\sqrt[3]{64}=\sqrt{16}}\implies{ \sqrt[3]{2^6}=\sqrt{2^4}}\implies{2^{\frac{6}{3}}=2^{\frac{4}{2}}}\implies{2^2=2^2}\implies{4=4}$

Introducción de factores en un radical

procedimiento

1.	Transforma todos los factores del radical en potencias
2.	Convierte todos los exponentes en fracciones con denominador común
3.	Aplica la propiedad potencia de una multiplicación al revés. Agrupa factores
4.	Pasa de potencia a radical

Ejemplo

Transforma ${\it4x\sqrt[3]{2x} }$ en un radical introduciendo los factores

Transformamos todos los factores del radical en potencias

 ${4x\sqrt[3]{2x}=4^1\cdot x^1\cdot 2^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}} }$ 

Convertimos todos los exponentes en fracciones con denominador común

 ${4^1\cdot x^1\cdot 2^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=4^{\frac{3}{3}}\cdot x^{\frac{3}{3}}\cdot2^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}}$ 

Aplicamos propiedades de las potencias y agrupamos

${4^{\frac{3}{3}}\cdot x^{\frac{3}{3}}\cdot2^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}} =(4^3\cdot x^3\cdot2\cdot x)^{\frac{1}{3}}=(128x^4)^{\frac{1}{3}} }$ 

Pasamos de potencia a radical

${(128x^4)^{\frac{1}{3}}=\underline{\sqrt[3]{128x^4} }}$ 

Extracción de factores en un radical

procedmiento

1.	Descompón el radicando en factores primos.
2.	Analiza cada factor por separado de la siguiente manera: Divide el exponente del factor entre el índice del radical Coloca el factor dentro del radical con exponente igual al resto de la división del paso 1. Coloca el factor fuera del radical con exponente igual al cociente de la división del paso 1.

Ejemplo

Extrae todos los factores posibles del radical ${\it\sqrt{2592}}$

Descomponemos $2592$ en factores primos

$2592=2^5\cdot3^4$ 

Analizamos el $2^5$

${5\colon2=2\space \rm y\space resto\space 1 }\\{\rm Dentro\ del\ radical\ irá:2^1 }\\{\rm Fuera\ del\ radical\ irá:2^2}$ 

Analizamos el $3^4$

${4\colon2=2\space\rm y\space resto\space 0 }\\{\rm Dentro\ del\ radical\ irá:3^0=1 }\\{\rm Fuera\ del\ radical\ irá:3^2}$ 

Escribimos el resultado

${\sqrt{2592}=\underline{2^2\cdot3^2\sqrt{2}} }$ 

Operaciones con radicales

Para empezar a realizar operaciones con radicales vamos a recurrir a las potencias de exponente fraccionario.

Procedimiento

1.	Pasa de radical a potencia
2.	Realiza la operación usando las propiedades de las potencias
3.	Pasa de potencia a radical

Sumas y resta con radicales

	Radical a Potencia	Operación con potencias	Potencia a Radical
suma	$x\sqrt[n]{a}+y\sqrt[n]{a}=x\cdot a^{\frac{1}n{}}+y\cdot a^{\frac{1}{n}}$	$x\cdot a^{\frac{1}n{}}+y\cdot a^{\frac{1}{n}}=(x+y)\cdot a^{\frac{1}{n}}$	$(x+y)\cdot a^{\frac{1}{n}}=(x+y)\sqrt[n]{a}$
Resta	$x\sqrt[n]{a}-y\sqrt[n]{a}=x\cdot a^{\frac{1}n{}}-y\cdot a^{\frac{1}{n}}$	$x\cdot a^{\frac{1}n{}}-y\cdot a^{\frac{1}{n}}=(x-y)\cdot a^{\frac{1}{n}}$	$(x-y)\cdot a^{\frac{1}{n}}=(x-y)\sqrt[n]{a}$

Recuerda que: Para sumar o restar radicales, estos tienen que ser semejantes; es decir, tener mismo índice y mismo radicando.

Ejemplo

Calcula ${\it3\sqrt[4]{6}-4\sqrt[4]{6}+2\sqrt[4]{6}}$

${3\sqrt[4]{6}-4\sqrt[4]{6}+2\sqrt[4]{6}=3\cdot 6^{\frac{1}{4}}-4\cdot6^\frac{1}{4}+2\cdot 6^{\frac{1}{4}}=(3-4+2)\cdot6^{\frac{1}{4}}=(3-4+2)\sqrt[4]{6}=\sqrt[4]{6}}$

Multiplicación y división con radicales

	Radical a Potencia	Operación con potencias	Potencia a Radical
Multiplicación	$\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=a^{\frac{1}{n}}\cdot b^{\frac{1}{n}}$	$a^{\frac{1}{n}}\cdot b^{\frac{1}{n}}=(a\cdot b)^{\frac{1}{n}}$	$(a\cdot b)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a\cdot b}$
División	$\cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\cfrac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}$	$\cfrac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}=\left (\cfrac{a}{b}\right)^{\frac{1}{n}}$	$\left (\cfrac{a}{b}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}$

Recuerda que: Para multiplicar o dividir radicales, estos tienen que tener el mismo índice.

Potencia y raíz de un radical

	Radical a Potencia	Operación con potencias	Potencia a Radical
Potencia	$\left (\sqrt[n]{a}\right)^m=\left (a^{\frac{1}{n}}\right)^m$	$\left (a^{\frac{1}{n}}\right)^m=a^{\frac{m}{n}}$	$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
Raíz	$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m]{a^{\frac{1}{n}}}=\left (a^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{m}}$	$\left (a^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{m}}=a^{\frac{1}{n\cdot m}}$	$a^{\frac{1}{n\cdot m}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$