Operaciones con radicales: Factorización

Radicales equivalentes

Dos radicales son equivalentes si pueden expresarse como potencias de la misma base en las que las fracciones que forman los correspondientes exponentes son equivalentes

$$\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[y]{a^x}\iff\cfrac{m}{n}=\cfrac{x}{y}$$

​​
Ejemplo

​$${\sqrt[3]{64}=\sqrt{16}}\implies{ \sqrt[3]{2^6}=\sqrt{2^4}}\implies{2^{\frac{6}{3}}=2^{\frac{4}{2}}}\implies{2^2=2^2}\implies{4=4}$$

Introducción de factores en un radical

​​procedimiento

Ejemplo

Transforma $${\it4x\sqrt[3]{2x} }$$ en un radical introduciendo los factores

Transformamos todos los factores del radical en potencias

​$${4x\sqrt[3]{2x}=4^1\cdot x^1\cdot 2^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}} }$$​​

Convertimos todos los exponentes en fracciones con denominador común

​$${4^1\cdot x^1\cdot 2^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=4^{\frac{3}{3}}\cdot x^{\frac{3}{3}}\cdot2^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}}$$​​

​

Aplicamos propiedades de las potencias y agrupamos

$${4^{\frac{3}{3}}\cdot x^{\frac{3}{3}}\cdot2^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}} =(4^3\cdot x^3\cdot2\cdot x)^{\frac{1}{3}}=(128x^4)^{\frac{1}{3}} }$$​​

Pasamos de potencia a radical

$${(128x^4)^{\frac{1}{3}}=\underline{\sqrt[3]{128x^4} }}$$​

​

Extracción de factores en un radical

​​procedmiento

Ejemplo

Extrae todos los factores posibles del radical $${\it\sqrt{2592}}$$

Descomponemos $$2592$$ en factores primos 

$$2592=2^5\cdot3^4$$​​

​

Analizamos el $$2^5$$

$${5\colon2=2\space \rm y\space resto\space 1 }\\{\rm Dentro\ del\ radical\ irá:2^1 }\\{\rm Fuera\ del\ radical\ irá:2^2}$$​​

​

Analizamos el $$3^4$$

$${4\colon2=2\space\rm y\space resto\space 0 }\\{\rm Dentro\ del\ radical\ irá:3^0=1 }\\{\rm Fuera\ del\ radical\ irá:3^2}$$​​

​

Escribimos el resultado

$${\sqrt{2592}=\underline{2^2\cdot3^2\sqrt{2}} }$$​​

Operaciones con radicales

Para empezar a realizar operaciones con radicales vamos a recurrir a las potencias de exponente fraccionario.

Procedimiento

Sumas y resta con radicales

Recuerda que: Para sumar o restar radicales, estos tienen que ser semejantes; es decir, tener mismo índice y mismo radicando.

Ejemplo

Calcula $${\it3\sqrt[4]{6}-4\sqrt[4]{6}+2\sqrt[4]{6}}$$

​$${3\sqrt[4]{6}-4\sqrt[4]{6}+2\sqrt[4]{6}=3\cdot 6^{\frac{1}{4}}-4\cdot6^\frac{1}{4}+2\cdot 6^{\frac{1}{4}}=(3-4+2)\cdot6^{\frac{1}{4}}=(3-4+2)\sqrt[4]{6}=\sqrt[4]{6}}$$​​

Multiplicación y división con radicales

Recuerda que: Para multiplicar o dividir radicales, estos tienen que tener el mismo índice.

Potencia y raíz de un radical