División de polinomios y teorema del resto

División de polinomios

La división de polinomios consiste en dividir un polinomio $$D(x)$$ entre otro polinomio $$d(x)$$ para hallar un cociente $$c(x)$$ de forma que si multiplicamos este cociente por el divisor, dé como resultado el dividendo. Es decir:

$$D(x)=d(x)\cdot c(x)$$

Recuerda que: El grado de $$D(x)$$​ deberá ser mayor o igual que el grado de $$d(x)$$​ para poder dividirlos.

PROCEDIMIENTO Ejemplo 1. Divide el primer elemento del primer polinomio entre el primer elemento del segundo polinomio y escribe el resultado a la derecha. 2. Multiplica el resultado por el segundo polinomio y escribe el resultado en la segunda línea. 3. Resta la segunda línea del polinomio anterior y anota el resultado. 4. Repite los pasos 1-3 hasta que obtenga el número 0 en la fila interior. 5. Escribe el resultado de la división así:

División con resto

Es ocasiones la división tendrá un resto distinto de 0. Esto significa que queda un valor final en la división del polinomio que no se puede dividir más. Se representa de la siguiente forma:

Teorema del resto

El resto, $$R(x)$$, se obtiene al realizar una división de polinomios no exacta. Esto significa que si quieres dividir $$P(x)$$ entre $$(x-a)$$, el resto aparecerá de la siguiente forma: $$R=P(a)$$.

Ejemplo

Al dividir el polinomio $$P(x)=3x^2-4x+3$$ por el binomio $$(x-1)$$ se obtiene el cociente $$C(x)=3x-1$$ y el resto $$R=2$$.

$$\begin{array}{r|rrr} & 3 & -4& 3\\ 1 & &3 & -1\\ \hline & 3&-1 & -2\end{array}$$​​​

Al sustituir $$x$$ por $$1$$ en $$P(x)$$ se obtiene: 

$$P(1)=3\cdot1^2-4\cdot1+3=3-4+3=2$$

¡El resto de la división coincide con el valor númerico del polinomio!​