Funciones parabólicas: Expresión y representación gráfica

Funciones cuadráticas

​​Definición

Las funciones cuadráticas o parabólicas son funciones polinómicas de segundo grado. Su forma general es $$y = ax^2 + bx+c$$. Donde $$a \neq0$$.

Ejemplo

​$$y= 4x^2 +5x -6$$  es una función cuadrática.

Gráfico

El gráfico de una función cuadrática es una parábola. 

• Si $$a$$​ es positiva la forma de la parábola es cóncava (como una boca sonriente).
  
• Si $$a$$​ es negativa la forma de la parábola es convexa (como una boca triste). 

Truco: Cóncava recuerda a una copa de cava y convexa a una mano recibiendo un beso. 

Representación gráfica

​​Vértice

Las funciones cuadráticas tienen un mínimo si $$a> 0$$ y un máximo si $$a< 0$$. Este punto es el vértice de la función. Para calcular los vértices de una función cuadrática debes seguir los siguientes pasos:

PROCEDIMIENTO

Ejemplo

Calcula el vértice de la siguiente función: 

$$y = -2x^2 +4x -7.$$​​

 $$a =-2; b= 4; c =-7.$$ 

Coordenada $$x$$ del vértice: $$\cfrac{-4}{-4}; x = \underline1.$$​ 

Sustitución de la coordenada $$x$$: $$y = -2(1)^2+4(1)-7, y = \underline{-5}.$$​

Las coordenadas del vértice son: $$\underline{(1{,}-5)}$$​

​​Puntos de corte con los ejes

Una parábola corta con el eje $$y$$ cuando $$x =0.$$, y corta con el eje $$x$$ cuando $$y = 0.$$

Ejemplo​

Localiza los cortes con el eje $$y$$​  y el $$x$$​ de la función: $$y = x^2-4x+3.$$

Corte con el eje $$y:$$ $$\text{Si}\space x=0; \space y = 0^2-0+3 \longrightarrow y = \underline3.$$​​​

Corta con el eje $$y$$​  en el punto $$\underline{(0,3)}$$​

Corte con el eje $$x:$$ $$\text{Si}\space y =0; \space0 = x^2-4x+3.$$​

Ecuación de segundo grado: $$x_1 = \underline{1} \space \text{y}\space x_2 = \underline{3}.$$​

Corta con el eje $$x$$​ en los puntos $$\underline{(1{,}0)} \space\text{y}\space \underline{(3{,}0)}.$$​​​