Energiewerte und Orbitale des Wasserstoffatoms

Das Wasserstoffatom besteht aus einem einzigen Elektron, das sich in der Atomhülle bewegt und vom Kern, bestehend aus einem Proton, gebunden ist. Das Elektron bewegt sich in alle drei Raumrichtungen, wobei die potentielle Energie des Elektrons aber nur von dessen Distanz zum Atomkern abhängt. Für die potentielle Energie ergibt sich nämlich Folgendes:

$E_{pot}(r) = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \cdot r}$ mit $\varepsilon_0 = \mathrm{elektrische\ Feldkonstante}$

Aufgrund der Abhängigkeit des Radius wird zur Bestimmung der Zustände $\Psi$ die Kugelkoordinaten verwendet, die vom Abstand r (Kern-Elektron) und von zwei Winkeln $\theta \ \mathrm{und} \ \varphi$ abhängt.

$\Psi(r,\theta, \varphi) = \mathrm{Y}(\theta, \varphi) \cdot u(r)$

Die potentielle Energie kann in die Schrödingergleichung eingesetzt werden. Für das Wasserstoffatom, als einziges Atom, kann diese Gleichung dann analytisch gelöst werden. Die Zustandsgleichungen ergeben dann die Lösungen zu der Schrödingergleichung.

Energiewerte

Durch die Analyse der Schrödingergleichung, gelang die Berechnung der Energiewerte des Elektrons im Wasserstoffatom. Es ergibt sich die folgende Gleichung:

$E_n = - \frac{E_0}{n^2} = -\frac{m \cdot e^4}{8h^2 \cdot \varepsilon_0^2} \cdot \frac{1}{n^2} \qquad \mathrm{mit}\qquad E_0 = \frac{m \cdot e^4}{8h^2 \cdot \varepsilon_0^2} \approx 2{,}18 \cdot 10^{-18}\ J = 13{,}6\ eV$

Für jede Zahl n lässt sich auch die mittlere Entfernung des Elektrons vom Kern bestimmen, den sogenannten Erwartungswert. Es gilt, je grösser n ist, desto grösser ist auch die mittlere Entfernung ${<}r{>}_n$ . Somit kann auch die Grösse des Atoms abgeschätzt werden.

Orbitale

Die Zustandsfunktionen $\Psi$ , die beschreiben, wo sich das Elektron um den Atomkern gerade befindet, werden Orbitale, in diesem Fall Orbitale des Wasserstoffatoms, genannt. Wie oben erwähnt bestehen die Zustandsfunktionen bzw. Orbitale aus dem Produkt der Kugelflächenfunktion $\mathrm{Y}_{lm}(\theta, \varphi)$ und der Radialfunktion $u_{nl}(r)$ . Sie erfassen dadurch die Abhängigkeit des Abstandes zwischen Elektron und Kern. Je nach Zusammensetzung gehört es zu einem der Energiewerte $E_n$ .

Um nun die Orbitale eindeutig festzulegen, gibt es die Quantenzahlen $n, l, m$ :

- $n$ : dies ist die Hauptquantenzahl und zeigt den zum Orbital zugehörigen Energiewert an.

- $l$ : dies ist die Nebenquantenzahl und bestimmt im Wesentlichen die räumliche Struktur. Der mit der Elektronenbewegung verknüpfte Drehimpuls wird ebenfalls durch $l$ eindeutig bestimmt, weshalb sie auch Bahndrehimpulsquantenzahl genannt wird.

- $m$ : dies ist die Magnetquantenzahl, welche die Orientierung des Orbitals bezüglich der Raumachsen ausdrückt.

Für die Quantenzahlen gelten folgende Regeln:

$|m| \le l,\qquad \ n > l, \qquad l\ge 0$

Die Orbitale werden abhängig von der Nebenquantenzahl unterschiedlich genannt. Orbitale mit $l = 0$ sind die s-Orbitale, mit $l = 1$ sind die p-Orbitale und mit $l = 2$ sind die d-Orbitale.

In der folgenden Abbildung sind p-Orbitale zu n = 2 veranschaulicht ( $2p_z{,}\ 2p_y{,}\ 2p_x$ ):

Physik; Quantenphysik; 1. Gymi; Energiewerte und Orbitale des Wasserstoffatoms

Die folgende Tabelle enthält alle möglichen Kombinationen der drei Quantenzahlen bis $n = 3$ :

	Anzahl
$n = 1\qquad l = 0 \quad m = 0$	$1$
$\begin{aligned}n = 2 \qquad l &= 0 \quad m = 0 \\l &= 1 \quad m = -1;\ m = 0;\ m = 1\end{aligned}$	$2^2 = 4$
$\begin{aligned}n = 3 \qquad l &= 0 \quad m = 0 \\l &= 1 \quad m = -1;\ m = 0;\ m = 1 \\l &= 2 \quad m = -2;\ m = -1;\ m = 0;\ m = 1\ m = 2\end{aligned}$	$3^2 = 9$
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