Gravitationsgesetz und Ortsfaktor

Alle Körper, die eine Masse besitzen, ziehen andere Masse-behaftete Körper an. Die Kraft, welche die Körper aufeinander ausüben, wird als Gravitationskraft bezeichnet. Wie stark diese Kraft ist und wie Du sie berechnen kannst, erfährst Du hier. Ausserdem wirst Du sehen, wie man Planeten "wiegen" kann.

Gravitation

Die Gravitation ist eine der fundamentalen Wechselwirkungen. Sie sorgt dafür, dass sich verschiedene Körper, die eine Masse haben, gegenseitig anziehen. Der Effekt hängt stark von der Masse der betrachteten Körper ab. Theoretisch ziehen sich auch eine Feder und ein Kieselstein gegenseitig an, wenn man sie nah aneinander bringt, jedoch ist der Effekt so klein, dass man die Anziehung kaum beobachten kann. Das liegt in diesem Beispiel daran, dass die beiden betrachteten Objekte sehr leicht sind. 

Jedoch wirkt die Gravitation ja auch auf sehr grosser Ebene, etwa wenn man verschiedene Himmelskörper betrachtet. Zwischen der Erde und der Sonne ist die Anziehungskraft so gross, dass diese sogar über die weiten Distanzen hin wirkt, welche zwischen Erde und Sonne liegen. 

Tatsächlich handelt es sich auch bei der Schwerkraft, welche wir tagtäglich auf der Erde erleben, um eine Auswirkung der Gravitationskraft. Wenn man einen Stift loslässt und dieser dann auf den Boden fällt, dann tut er das, weil die Gravitationskraft der Erde auf die Masse des Stifts gewirkt hat und diesen an sich anzieht. 

Das Gravitationsgesetz

Die folgende Formel dient dazu, die Gravitationskraft $$F_G$$, welche von einem stark Masse-behafteten Körper, welcher die Masse $$m_1$$ trägt, auf eine Probemasse, welche die Masse $$m_2$$ trägt, zu berechnen. Hierbei ist der Abstand zwischen den beiden Körpern gegeben durch die Distanz $$r$$.

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​$$F_G=G\cdot\frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$$​​

Hierbei ist $$G$$ die Gravitationskonstante. Sie besitzt den Wert $$G=6{,}67\times 10^{-11} \ \frac{N\cdot m^2}{kg^2}$$. Der Wert wurde experimentell ermittelt. Im Abschnitt ganz unten wirst Du noch einmal detaillierter erfahren, wie man auf den Wert für die Gravitationskonstante gekommen ist. 

Ortsfaktor

Es gibt nun einen Zusammenhang zwischen dem Gravitationsgesetz und dem Ortsfaktor. Da die Gewichtskraft nur ein Aspekt der Gravitationskraft ist, sollte es hier einen Zusammenhang zwischen dem Gravitationsgesetz und der Gewichtskraft geben. In der Tat sieht man diesen Zusammenhang, wenn man die Grundgleichung der Mechanik auf das Gravitationsgesetz anwendet:

Die Grundgleichung der Mechanik lautet $$F=m\cdot a$$. 

Auf der Erde ist die Beschleunigung $$a$$ für den Fall der Gewichtskraft gegeben durch den Ortsfaktor $$g$$, welcher manchmal auch Erdbeschleunigung genannt wird: $$F_{\text{Gewicht}}=m_2\cdot g$$​​

Setzt man jetzt die Gewichtskraft und die Gravitationskraft gleich, so erhält man auch eine entsprechende Gleichung für den Ortsfaktor. 

​​$$\begin{aligned}F_G&=F_{\text{Gewicht}}\\G\cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}&=m_2 \cdot g\\\rightarrow g&=G\cdot \frac{m_1}{r^2}\end{aligned}$$​​

Beispiel 

Mit der gerade herausgefundenen Formel sollen drei Dinge berechnet werden. Zum einen soll der Ortsfaktor bestimmt werden, welcher auf der Erde wirkt. Dann ist der Ortsfaktor, welcher auf dem Mond wirkt, gesucht. Als Letztes soll dann noch bestimmt werden, wie "schwer" eine Person auf dem Mond wäre, die auf der Erde ein Gewicht von $$m_{\text{Körper,Erde}}=80 \ kg$$ besitzt. 

Erde:

Die Masse der Erde beträgt $$m_{\text{Erde}}=5{,}9722\times 10^{24} \ kg$$ und ihr Radius $$r_{\text{Erde}}=6\ 371 \ km=6\ 371\ 000 \ m$$. Daher ist der Ortsfaktor der Erde gegeben durch:

$$\begin{aligned}\underline{g_{\text{Erde}}}&=G\cdot \frac{m_{\text{Erde}}}{(r_{\text{Erde}})^2}\\&=6{,}67\times 10^{-11}\ \frac{N\cdot m^2}{kg^2}\cdot \frac{5{,}9722\times 10^{24}\ kg}{(6 \ 371 \ 000 \ m)^2}\\&=\underline{9{,}81 \ \frac{m}{s^2}}\end{aligned}$$​​

Mond:

Die Masse vom Mond beträgt $$m_{\text{Mond}}=7{,}348\times 10^{22}\ kg$$ und sein Radius $$r_{\text{Mond}}=1\ 737 \ km = 1\ 737 \ 000 \ m$$. Daher ist sein Ortsfaktor gegeben durch:

​$$\begin{aligned} \underline{g_{\text{Mond}}}&=G\cdot \frac{m_{\text{Mond}}}{(r_{\text{Mond}})^2}\\&=6{,}67\times 10^{-11} \ \frac{N\cdot m^2}{kg^2} \cdot \frac{7{,}348\times 10^{22} \ kg}{(1 \ 737 \ 000 \ m)^2}\\&=\underline{1{,}62 \ \frac{m}{s^2}}\end{aligned}$$​​

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Masse auf dem Mond:

Die Gravitationskraft, welche auf dem Mond auf den Probekörper wirkt, ist dann:

​$$F_{\text{G,Mond}}=m_{\text{Körper,Erde}}\cdot g_{\text{Mond}}=80 \ kg \cdot 1{,}62 \ \frac{m}{s^2}=129{,}6 \ N$$​​

Die gefühlte Masse für den Körper auf dem Mond kann man nun berechnen, indem man annimmt, dass die Gravitationskraft, welche auf dem Mond auf den Körper wirkt, auf der Erde wirken würde. Dann erhält man das Gewicht, welches dieser Kraft auf der Erde entspricht.

​$$\begin{aligned} F_{\text{G,Erde}}&=F_{\text{G,Mond}}\\\rightarrow F_{\text{G,Mond}}&=m_{\text{neu}}\cdot g_{\text{Erde}}\\\underline{m_{\text{neu}}}&=\frac{F_{\text{G,Mond}}}{g_{\text{Erde}}}=\frac{129{,}6\ N}{9{,}81\ \frac{m}{s^2}}\\&=\underline{13{,}21 \ kg}\end{aligned}$$​​

Hinweis:

Beim Gravitationsgesetz wird die Ausdehnung der Körper vernachlässigt. Auch bei riesigen Planeten wird angenommen, dass sich die gesamte Masse des Körpers in seinem Zentrum konzentriert. Der Abstand zwischen zwei Körpern ist dann dementsprechend die Distanz zwischen den Massenmittelpunkten der Körper. Dies wird auch als das Modell des Massenpunktes bezeichnet.

Wiegen von Planeten

Wenn man das Gravitationsgesetz nach der Masse $$m_1$$​ des Zentralkörpers umstellt, kann man diese mit der Formel bestimmen. Um einen Planeten zu "wiegen", muss man nur den Radius des Planeten ermitteln und dann messen, welche Kraft dieser auf einen Probekörper auf seiner Oberfläche ausübt. 

Die Formel dafür lautet dann:

​$$m_1=\frac{F_G\cdot r^2}{G\cdot m_2}$$​​

Beispiel:

Wie schwer ist die Venus, wenn ihr Radius gegeben ist als $$r_{\text{Venus}}=6\ 052 \ km=6\ 052 \ 000\ m$$ und ein Probekörper, welcher $$m_2=50 \ kg$$ wiegt, auf ihrer Oberfläche eine Gravitationskraft von $$F_G=443{,}44 \ N$$ erfährt?

Gegeben: 

Radius Venus: $$r_{\text{Venus}}=6\ 052 \ km=6\ 052 \ 000\ m$$;

Masse Probekörper: $$m_2=50 \ kg$$;

Gravitationskraft, die auf Probekörper wirkt: $$F_G=443{,}44\ N$$​

Gesucht:

Masse Venus $$m_1$$

Dazu werden nun einfach alle gegebenen Grössen in die Gleichung eingesetzt:

$$\underline{m_1}=\frac{F_G\cdot r^2}{G\cdot m_2}=\frac{443{,}44 \ N\cdot (6\ 052 \ 000 \ m)^2}{6{,}67\times 10^{-11} \ \frac{N\cdot m^2}{kg^2}\cdot 50 \ kg}=\underline{4{,}87\times10^{24}\ kg}$$​​

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Bestimmen der Gravitationskonstante 

Wie wurde eigentlich der Wert der Gravitationskonstante $$G$$ bestimmt? -Zunächst einmal muss man dafür das Gravitationsgesetz nach der gewünschten Grösse umstellen. Die Gravitationskonstante wird dann mithilfe der astronomischen Daten der Erde und des Mondes bestimmt.

​$$G=\frac{F_G\cdot r^2}{m_E\cdot m_M}$$​​

Die Gravitationskraft, welche die Erde auf den Mond ausübt, kann man nun abschätzen durch die Zentripetalkraft, da beide Kräfte gleich sind. Das ist darauf zurückzuführen, dass der Mond die komplette Energie, welche aus der Anziehung heraus entsteht, in Bewegungsenergie umwandelt, wodurch seine Umlaufbewegung um die Erde herum entsteht. Daher gilt:

​$$F_G=F_Z=4 \pi^2\cdot \frac{m_M\cdot r}{T^2}$$​​

Beides zusammen ergibt

​$$G=4 \pi^2\cdot\frac{r^3}{m_E\cdot T^2}$$​​

Die Masse der Erde konnte aus dem Durchmesser der Erde und der Dichte der Erde abgeschätzt werden. $$T$$ bezeichnet hier die Umlaufzeit des Mondes. 

Experimentell wurde die Gravitationskonstante durch die Gravitationswaage bestimmt. Diese bestand aus einer Art Waage, welche drehbar war. An ihren Enden befanden sich zwei metallene Kugeln, die dasselbe Gewicht hatten. Die Drehwaage war an einem dünnen Faden befestigt. Wenn die Drehwaage aus der Ruhe gebracht wird, dann wird der Faden ein wenig verdrillt. Aus der Verdrillung des Fadens kann man dann die Beschleunigung bestimmen, mit welcher die Drehwaage aus ihrer Ruhelage gebracht wurde.

Die beiden grossen Metallkugeln werden nun dadurch aus ihrer Ruhelage gebracht, dass im gleichen kleinen Abstand zu den Kugeln zwei kleinere Kugeln angebracht wurden, welche die grösseren anhand des Gravitationsgesetzes anziehen. Durch diese Anziehung entsteht eine Beschleunigung der grossen Kugeln. 

Durch einen Laser, welcher sein Licht auf einen Spiegel richtet, der am Faden befestigt ist, lässt sich die Drehbewegung präzise sichtbar machen.

Dies siehst Du noch einmal in der folgenden Grafik:

Hierbei ist 1.) ein Faden, 2.) ein Spiegel, 3.) gehört zu Position B und 4. zu Position A. 5.) bezeichnet den Laser.