Dopplereffekt: bewegte Quelle und Beobachter

Durch die Relativgeschwindigkeit einer Schallquelle zum Medium (Luft) entsteht eine Frequenzverschiebung. Die Frequenz wird höher, wenn sich die Quelle zum Beobachter bewegt und tiefer, wenn sie sich vom Beobachter wegbewegt. Dieses Phänomen tritt allgemein bei Wellen auf, solange ein Medium vorhanden ist. Weitere Beispiele sind Schwerewellen auf der Wasseroberfläche oder Erdbeben. Beim Licht, also elektromagnetischen Wellen tritt auch ein Dopplereffekt auf, allerdings aus anderen Gründen, da elektromagnetische Wellen kein Medium benötigen. In dieser Zusammenfassung geht es um den Dopplereffekt von Wellen in einem Medium.

Bewegte Quelle

Die Quelle sendet, wie in der Grafik dargestellt, eine Wellenfront aus und bewegt sich während einer Periode $$T$$, mit Geschwindigkeit $$v_Q$$​ um $$\Delta x$$​ in Richtung des Beobachters, wo die Wellenfront der gleichen Phase ausgesendet wird. Durch die Bewegung der Quelle im Medium wird der Abstand zwischen zwei Wellenfronten in Richtung des Beobachters um verkürzt und in der anderen verlängert. Die Wellenlänge, die ein Beobachter sieht, ist daher:

​$$\lambda_B = \lambda\mp\Delta x, \quad \Delta x = v_Q\cdot T = \dfrac{v_Q}{f}$$​​

Wobei das Minus gilt, wenn die Quelle sich auf den Beobachter zu bewegt und das Plus, wenn sie sich vom Beobachter entfernt.

Zwischen der Wellenlänge $$\lambda$$, Ausbreitungsgeschwindigkeit $$c$$ und Frequenz $$f$$​ der Welle besteht folgender Zusammenhang:

​$$f = \dfrac{c}{\lambda}$$

Du kannst die Gleichung umformen, um die beobachtete Wellenlänge umzuschreiben

​$$\lambda = \dfrac{c}{f} \quad \to \quad \lambda_B = \dfrac{c\mp v_Q}{f}$$​​

und damit die beobachtete Frequenz berechnen:

​$$f_B = \dfrac{c}{\lambda_B} = \dfrac{f\cdot c}{c\mp v_Q} = \dfrac{f}{1\mp\frac{v_Q}{c}}$$​​

Wenn sich die Quelle auf den Beobachter zu bewegt, wird der Nenner kleiner und die Frequenz $$f_B$$​ daher höher und tiefer in die andere Richtung.

Bewegter Beobachter

Wenn sich ein Beobachter Richtung Quelle bewegt, erscheint die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle aus Sicht des Beobachters grösser und umgekehrt kleiner, wenn sich der Beobachter von der Quelle entfernt. Dabei kannst du die Geschwindigkeit des Beobachters zur Ausbreitungsgeschwindigkeit addieren oder im zweiten Fall subtrahieren:

​$$c_B = c\pm v_B$$​​

Im Verglich zum vorherigen Fall hast du nun eine andere Geschwindigkeit anstatt eine andere Wellenlänge und erhältst:

​$$f_B = \dfrac{c_B}{\lambda} = f\cdot\dfrac{c\pm v_B}{c} = f\cdot\left(1\pm\dfrac{v_B}{c}\right)$$​​

Auch hier erhältst du, dass die wahrgenommene Frequenz $$f_B$$​ höher wird, wenn sich der Beobachter auf die Quelle zu bewegt und tiefer, wenn er sich von der Quelle entfernt.

Bemerkung: Wenn sich das Medium bewegt, z. B. bei Wind, kann man das Problem immer im Ruhesystem des Mediums betrachten, das heisst in dem Koordinatensystem, in dem das Medium still steht, um das korrekte Resultat zu erhalten.

Beispiel:

Eine Quelle bewegt sich in Windrichtung mit Geschwindigkeit $$v = 4\,km/h$$​ bei einer Windgeschwindigkeit von $$w = 8\,km/h$$. Der Beobachter bleibt stehen. Im Ruhesystem des Windes bewegt sich der Beobachter mit Windgeschwindigkeit gegen den Wind. Da die Quelle langsamer als der Wind ist, bewegt sie sich vom Wind aus gesehen auch entgegen dem Wind, aber langsamer als der Beobachter.

Gegeben: Geschwindigkeit der Quelle $$v_Q = 4\,km/h$$​, Geschwindigkeit des Beobachters $$v_B = 0\,km/h$$​, Windgeschwindigkeit $$w = 8\,km/h$$

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Gesucht: Geschwindigkeit der Quelle relativ zum Wind $$v_Q'$$$$v_Q'$$Q'$$v_Q'$$$$v_Q'$$​, Geschwindigkeit des Beobachters relativ zum Wind $$v_B'$$

$$v_Q' = v_Q - w = 4\,km/h - 8\,km/h = \underline{-4\,km/h}$$

$$v_B' = v_B - w = 0\,km/h - 8\,km/h = \underline{-8\,km/h}$$​​

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Überschallknall

Wenn sich die Quelle mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle im Medium bewegt $$v_Q = c$$​, liegen alle Kreise tangential an einem Punkt vor der Quelle. Alle Wellen überlagern sich dort, was eine sehr starke Amplitude erzeugt. Es bildet sich eine Stossfront, die bei Schallwellen als einen lauten Knall wahrgenommen wird. Der Effekt tritt auch auf, wenn sich die Quelle schneller als die Ausbreitungsgeschwindigkeit bewegt $$v_Q > c$$​, da sich die Wellenfronten, wie in der Grafik skizziert, auf einem Kegel überschneiden und sich die Wellenberge dort wieder überlagern.