Energie des Magnetfelds und Supraleiter

Ein Magnetfeld kann bewegte Ladungen ablenken, also beschleunigen. Wenn das über eine Distanz geschieht, dann leistet das Magnetfeld Arbeit an dem geladenen Teilchen. Das Magnetfeld muss also Energie besitzen, da es das tun kann.

Feldenergie einer Spule

Wenn ein Stromkreis mit einer Spule abgeschaltet wird, wirkt die Selbstinduktion nach dem Lenz'schen Gesetz dem zusammenfallendem Magnetfeld entgegen und induziert einen Strom, der den Stromfluss noch eine Weile aufrechterhält. Die Energie, die im Magnetfeld gespeichert ist, wird dabei umgewandelt, um den Strom weiterfliessen zu lassen. Die gespeicherte Energie hängt von der Induktionseigenschaft der Spule ab, also von der Induktivität.

​$$E_{mag} = \dfrac{1}{2}L\cdot I^2$$​​

Wenn du die Formel für die magnetische Energie mit der kinetischen Energie $$E_{kin}$$​, der Spannungsenergie in einer Feder $$E_{spann}$$​ oder der elektrischen Energie in einem Kondensator $$E_{el}$$​ vergleichst, siehst du, dass sie die gleiche Form annehmen:

​$$E_{kin} = \dfrac{1}{2}m\cdot v^2, \quad E_{spann} = \dfrac{1}{2}D\cdot s^2, \quad E_{el} = \dfrac{1}{2}C\cdot U^2$$​​

Hierbei beschreiben die Masse $$m$$​, die Federkonstante $$D$$​, die Kapazität $$C$$​ des Kondensators oder die Induktivität $$L$$ der Spule, die Trägheit oder den Widerstand des Systems gegenüber einer Änderung der Geschwindigkeit $$v$$​, der Länge der Feder $$s$$​, der Spannung am Kondensator $$U$$​ oder dem Strom, der durch die Spule fliesst $$I$$​.

Aufladen einer idealen Spule

Eine an eine Batterie angeschlossene Spule hat einen sehr kleinen, aber nicht verschwindenden Widerstand. Das gilt auch für die Drähte und die Batterie selbst, die eine konstante Spannung $$U_B$$​ liefert. Über dem Widerstand fällt die Spannung $$U_R = R\cdot I$$​ ab und wenn sich der Strom ändert, wirkt die Induktionsspannung $$U_{ind} = -L\cdot\dot{I}$$, die durch Selbstinduktion entsteht, der Batteriespannung entgegen. Damit beschreibt folgende Gleichung den Schaltkreis:

​$$U_B - L\cdot\dot{I} = R\cdot I$$  oder  $$U_B = L\cdot\dot{I} + R\cdot I$$

Wenn du den Schaltkreis (zum Zeitpunkt $$t_0$$​) schliesst, beginnt ein Strom zu fliessen. Wenn du den kleinen Spannungsabfall am ohmschen Widerstand vernachlässigst, siehst du, dass der Strom gleichmässig zunimmt, wobei die Induktivität der Spule und die Spannung der Batterie die Steigung bestimmen.

​$$U_B \approx L\cdot\dot{I} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\Delta I}{\Delta t} = \dfrac{U_B}{L}$$

​

Der Strom ist die Änderung der Ladung $$I = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t}$$​ und daher ist die Ladung $$Q(t_1)$$​, die nach einer Zeit $$\Delta t = t_1 - t_0$$​ durch die Spule geflossen ist, gerade die Fläche unter der Stromkurve. Da der Stromkurve gleichmässig ansteigt, ist die Kurve eine Gerade und du kannst die Fläche des eingeschlossenen Dreiecks berechnen.

​$$Q(t_1) = \dfrac{1}{2}I(t_1)\cdot\Delta t$$​​

​Das Magnetfeld steigt mit dem steigenden Strom an und durch den Ladungsfluss wurde Arbeit an der Spule verrichtet, welche nun in der Energie des Magnetfeldes gespeichert ist.

$$E_{mag} = W = Q(t_1)\cdot U_B = \dfrac{1}{2}I(t_1)\cdot\Delta t\cdot L\cdot\dfrac{\Delta I}{\Delta t} = \dfrac{1}{2}L\cdot I^2$$​​

Supraleitende magnetische Energiespeicher (SME)

Ein Supraleiter ist ein leitendes Material, das bei genügend tiefen Temperaturen keinen elektrischen Widerstand mehr hat. Stellt man daraus eine Spule her und kühlt sie auf die erforderliche Temperatur herunter, kommt man einer idealen Spule sehr nahe, die man dann als Energiespeicher verwenden kann. Solche Energiespeicher haben einen sehr geringen Verschleiss und liefern eine konstante Spannung.

Beispiel

Der grösste SCE-Prototyp hat eine Speicherkapazität von $$20\,MW\cdot h$$​ und kann während $$100\,s$$​ eine Leistung von $$400\,MW$$​ abgeben. Wir nehmen an, dass die Spannung dabei $$400\,V$$​ beträgt und berechnen daraus die Induktivität der supraleitenden Spule.

Gegeben: $$E_{mag} = 20\,MW\cdot h, \quad P = 400\,MW, \quad U = 400\,V$$​​

Gesucht: $$L$$​​

Berechnen erst die Stromstärke:

$$P = U\cdot I \quad \Rightarrow \quad I = \dfrac{P}{U} = \dfrac{400\,MW}{400 \,V} = 1\,\dfrac{MV\cdot A}{V} = 1\,MA$$​​

Für die Berechnung der Induktivität möchtest du die Stunde in Sekunden umrechnen:

$$1\,h = 60\,min = 60\cdot60\,s = 3600\,s$$​​

Jetzt kannst du die Energieformel umformen und die Werte einsetzen, um die Induktivität zu erhalten. Beachte dabei, dass $$1\,W = 1\,V\cdot A$$ ist.

​$$E_{mag} = \dfrac{1}{2}L\cdot I^2 \quad |\cdot\dfrac{2}{I^2}$$​​

​$$\Rightarrow \quad L = \dfrac{2E_{mag}}{I^2} = \dfrac{2\cdot20\,MW\cdot h}{(1\,MA)^2} = 40\cdot3600\,\dfrac{\cancel{M}V\cdot\cancel{A}\cdot s}{(MA)^{\cancel{2}}} = 14400\cdot10^{-6}\,\dfrac{V\cdot s}{A} = 0{,}14\,H$$​​