Brechungsgesetz und Effekt der Totalreflexion

Brechung-Wiederholung

Das Brechungsgesetz

Trifft Licht schräg auf die Grenzfläche zwischen zwei lichtdurchlässigen Körpern, so wird ein Teil des Strahls reflektiert und ein Teil wird gebrochen. Das bedeutet, dass er aus seiner ursprünglichen Richtung abgelenkt wird. 

Ähnlich wie bei der Reflexion liegen auch hier der einfallende Strahl, der gebrochene Strahl und das Lot in einer Ebene. Zur Erinnerung: das Lot steht immer senkrecht auf der Übergangsfläche zwischen den beiden Materialien.

Optisch dicht und optisch dünn

Zwischen zwei Materialien kommt es zu einer Brechung am Übergang zwischen den Materialien. Nun unterscheidet man bei den beiden Materialien zwischen optisch dicht und optisch dünn. Dies hängt vom jeweiligen Brechungsindex ($$n$$) ab.​

Das Medium, in welchem der Lichtstrahl einen kleineren Winkel zum Lot hat, wird optisch dicht genannt, das andere optisch dünn. 

Optisch dichte Medien haben höhere Brechungsindexe als optisch dünnere. 

Beim Übergang von optisch dichten Medien zu optisch dünnen wird der Lichtstrahl vom Lot weg gebrochen 

Beim Übergang von optisch dünnen Medien zu optisch dichten wird der Lichtstrahl zum Lot hin gebrochen 

Formel zum Brechungsgesetz

Das genaue Verhalten der Brechung kann man mit der folgenden Formel berechnen: 

​$$n_1\cdot \sin(\alpha)=n_2\cdot\sin(\beta)$$​​

Die Indexe 1 und 2 beziehen sich hierbei auf die Stoffe. In Stoff 1 fällt der Lichtstrahl auf die Grenzfläche ein im Einfallswinkel . Stoff 1 hat einen Brechungsindex $$n_1$$.

Der Winkel $$\beta$$ beschreibt den Winkel, welchen der gebrochene Strahl mit dem Lot einnimmt. Der gebrochene Strahl verläuft durch Stoff 2, welches den Brechungsindex $$n_2$$ besitzt. 

Beachte, dass Luft einen Brechungsindex von $$n_{\text{Luft}}=1$$ besitzt. Allgemein ist der Brechungsindex eine einheitenlose Zahl, welche nie kleiner als 1 ist, da das Vakuum einen Brechungsindex von 1 hat, weil es Licht perfekt durchlässt. Ein Brechungsindex von weniger als 1 würde bedeuten, dass das Material Licht noch besser hindurch lässt als das Vakuum, aber solch ein Material gibt es nicht. ​

Effekt der Totalreflexion

Bei der Brechung von Licht von einem optisch dichteren Medium zu einem optisch dünneren wird das Licht vom Lot weg gebrochen. Je grösser der Einfallswinkel ist, desto grösser ist auch die Änderung des Winkels bei der Brechung. Der Winkel kann aber nicht beliebig gross werden. 

Bei einem speziellen Grenzwinkel, $$\alpha_G$$, wird das Licht so stark gebrochen, dass der Brechungswinkel $$\beta=90°$$ beträgt. Dann liegt der gebrochene Strahl also auf der Grenzfläche zwischen den zwei Medien- und kann daher nicht mehr beobachtet werden. Dieses Phänomen nennt sich Totalreflexion.

Ist der Einfallswinkel kleiner als der Grenzwinkel, dann tritt normale Brechung auf. Wird er noch grösser, dann wird der Strahl nicht mehr gebrochen, sondern nur noch an der Grenzfläche zwischen den Materialien gespiegelt und zurückgeworfen. 

In dem Fall, wenn Licht von einem optisch dichterem zu einem optisch dünneren Medium übergeht, kann es keine Totalreflexion geben.

Formel

Hierzu ist die Formel für die Brechung notwendig (siehe oben). Wir setzen in die Formel ein, dass der Brechungswinkel der rechte Winkel ist und, dass dann der Einfallswinkel der Grenzwinkel ist:

​$$\begin{aligned}n_1\cdot \sin(\alpha_G)&=n_2\cdot\sin(90°)\\\rightarrow n_1\cdot \sin(\alpha_G)&=n_2\end{aligned}$$​​

Dies kann man nun nach dem Grenzwinkel umstellen:

​$$\begin{aligned}n_1\cdot \sin(\alpha_G)&=n_2 \quad |\div n_1\\\sin(\alpha_G)&=\frac{n_2}{n_1}\quad |\sin^{-1}()\\\alpha_G&=\sin^{-1}\bigg(\frac{n_2}{n_1}\bigg)\end{aligned}$$​​

Hinweis:

Anhand der Formel für den Grenzwinkel bei der Totalreflexion kann man auch sehen, dass der Effekt nur beim Übergang von optisch dichterem zu optisch dünnerem Medium auftreten kann, da der Arcussinus $$\sin^{-1}$$ nur definiert ist, wenn sein Argument nicht grösser als 1 ist. Daher muss gelten: $$n_2<n_1$$.​

Der Lichtstrahl A gehört hier zum einfallenden Strahl, der Lichtstrahl B zu dem, der totalreflektiert wird und der Lichtstrahl C zum reflektierten Strahl. Der Brechungswinkel $$\beta$$ ist hierbei der rechte Winkel und der Grenzwinkel wird hier als $$\delta$$ bezeichnet.

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Beispiel:

Ein Taucher zielt mit seiner Taschenlampe aus einem See schräg nach oben in Richtung der Wasseroberfläche. In welchem Winkel muss er relativ zur Wasseroberfläche zielen, wenn Totalreflexion auftreten soll? Die Brechungsindexe der beiden Medien betragen: $$n_{\text{Wasser}}=1{,}333; \quad n_{\text{Luft}}=1$$

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Gegeben: $$n_{\text{Wasser}}=1{,}333; \quad n_{\text{Luft}}=1$$

Gesucht: Grenzwinkel $$\alpha_G$$​​

Es wird einfach die Formel von oben verwendet: 

$$\begin{aligned}\underline{\alpha_G}&=\sin^{-1}\bigg(\frac{n_2}{n_1}\bigg)\\&=\sin^{-1}\bigg(\frac{1}{1{,}333}\bigg)\\&=\underline{48{,}6°}\end{aligned}$$​​

Der Taucher sollte also in einem Winkel von $$\alpha_G=48{,}6°$$ seine Taschenlampe zur Wasseroberfläche ausrichten.​