​​Freier Fall und senkrechter Wurf

Das Wichtigste in Kürze

Bungee-Jumping, vom drei Meter Sprungbrett in das Becken springen, einen Ball fallen lassen oder Fahrgeschäfte im Freizeitpark. Alle diese Dinge haben gemeinsam, dass sie mehr oder weniger genau durch das Modell des freien Falls beschrieben werden können. Die einzige Kraft, die hierbei auf den Gegenstand wirkt, ist dessen Gewichtskraft. Das Modell des senkrechten Wurfs funktioniert so ähnlich, jedoch muss man hier noch berücksichtigen, dass zusätzlich die "Wurfkraft" auf den Gegenstand wirkt.

​​Freier Fall

Definition

Eine beschleunigte Bewegung wird als freier Fall bezeichnet, wenn: 

1.  nur die Gewichtskraft des Körpers auf den Körper wirkt
2.  die Beschleunigung während der Bewegung konstant bleibt. 

Auf der Erde beträgt die Fallbeschleunigung $$g = 9{,}81 \frac{m}{s^2}$$​.

Dadurch sind die Beschleunigung $$a$$​, Geschwindigkeit $$v$$ und zurückgelegter Weg $$s$$ zu jedem Zeitpunkt $$t$$ gegeben durch die Bewegungsgleichungen des freien Falls:

​$$\begin{aligned}a(t)&=g = \mathrm{konstant}\\v(t) &= a(t) \cdot t\\s(t) &= \frac{1}{2}\cdot a(t) \cdot t^2\end{aligned}$$​​

Beispiel 1

Lassen wir eine Kugel und eine Feder aus einer Höhe $$h$$ fallen, so werden beide gleichermassen beschleunigt. Wir beobachten jedoch, dass die Feder deutlich langsamer fällt, was auf den Luftwiderstand zurückzuführen ist. Wiederholen wir das gleiche Experiment in einem evakuierten Glaskolben (im Vakuum) fallen Kugel und Feder exakt gleich schnell. Das heisst, die Erdbeschleunigung g wirkt auf alle Objekte unabhängig von ihrer Masse gleich.

Nehmen wir an, wir lassen Kugel und Feder aus einer Höhe von 1,3 m im Vakuum fallen. Wie lange dauert es bis beide unten angekommen sind und mit welcher Geschwindigkeit erreichen sie das untere Ende des Kolbens?

Gegeben: Höhe/ zurückgelegter Weg $$s = 1{,}3\,m$$, Fallbeschleunigung $$a = g = 9{,}81\frac{m}{s^2}$$

Gesucht: Zeit $$t$$, Endgeschwindigkeit $$v$$

Lösung: 

Berechne zunächst, wie lange es dauert, bis beide unten angekommen sind. Stelle dazu die obige Formel nach der Zeit $$t$$ um und setze die Werte ein:

​$$s(t) = \dfrac{1}{2} \cdot a(t) \cdot t^2 \\ \longrightarrow t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot s(t)}{a(t)}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 1{,}3\,m}{9{,}81\frac{m}{s^2}}}= \underline{0{,}515\,s}$$

​

Berechne nun die Endgeschwindigkeit mit der passenden Formel:

​$$v(t) = a(t) \cdot t = 9{,}81\frac{m}{s^2} \cdot 0{,}515\,s = \underline{5{,}1\,\frac{m}{s}}$$

Sowohl Kugel als auch Feder erreichen also eine Endgeschwindigkeit von 5,1 m/s.​

Beispiel 2

Wann passieren sie die Hälfte der Höhe und mit welcher Geschwindigkeit?

Gegeben: Fallbeschleunigung $$a(t) = g = 9{,}81\frac{m}{s^2}$$​, zurückgelegter Weg $$s = \frac{1}{2} \cdot 1{,}3\,m = 0{,}65\,m$$

Gesucht: Zeit $$t$$, Geschwindigkeit $$v$$

Lösung:

Berechne zunächst, wie lange es dauert, bis Kugel und Feder den halben Weg zurückgelegt haben, mit der obigen Formel:

$$t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot s(t)}{a(t)}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 0{,}65\,m}{9{,}81\frac{m}{s^2}}}= \underline{0{,}364\,s}$$

Berechne nun die Geschwindigkeit $$v(t)$$​, die Kugel und Feder zur Zeit $$t$$ erreicht haben:

$$v(t) = a(t) \cdot t = 9{,}81 \frac{m}{s^2}\cdot 0{,}364\,s = \underline{3{,}6\,\frac{m}{s}}$$​​

Senkrechter Wurf

Definition

Der Senkrechte Wurf ist eine Form des Freien Falls. Er beginnt mit einer zusätzlichen Anfangsgeschwindigkeit $$v_0$$​, mit der das Objekt sich zunächst (im Normalfall) von der Erde entfernt. Hier müssen Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvorzeichen beachtet werden. 

In der Regel gilt:

​$$\begin{aligned}a(t)&=- g = -9{,}81\,\frac{m}{s^2}\,(\mathrm{zeigt\,zum\,Erdmittelpunkt\,"nach\,unten"})\\v(t) &= v_0 + a(t) \cdot t\\s(t) &= s_0 + v_0\cdot t + \frac{1}{2}\cdot a \cdot t^2\end{aligned}$$​​

Beispiel 

Wir werfen eine Kugel mit einer Geschwindigkeit von 20 m/s senkrecht aus einer Höhe $$h_0$$ = 1 m nach oben.

a) Wann hat die Kugel nur noch die Hälfte ihrer ursprünglichen Geschwindigkeit?

Gegeben: Anfangsgeschwindigkeit $$v_0 = 20 \frac{m}{s}$$, Anfangshöhe bzw. bereits zurückgelegter Weg $$h_0 = 1\,m$$

Gesucht: Zeit $$t$$, für die gilt $$v(t) = \frac{1}{2}\cdot v_0 = 10\frac{m}{s}$$

Lösung:

Stelle die Formel für die Geschwindigkeit nach der Zeit um und setze die gegebenen Werte ein:

​$$v(t) = v_0 + a(t) \cdot t$$

$$\longrightarrow t = \dfrac{v(t)-v_0}{a(t)} = \dfrac{10\frac{m}{s}-20\frac{m}{s}}{-9{,}81\,\frac{m}{s^2}} = \underline{1{,}0\,s}$$

Nach einer Sekunde hat die Kugel nur noch die Hälfte ihrer ursprünglichen Geschwindigkeit.

​​

b) Wann und in welcher Höhe kommt die Kugel zum Stillstehen?

​Gegeben: Anfangsgeschwindigkeit $$v_0 = 20 \frac{m}{s}$$, Anfangshöhe bzw. bereits zurückgelegter Weg $$h_0 = 1\,m$$

Gesucht: Zeit $$t$$, für die gilt $$v(t) = 0$$, Höhe $$s(t)$$​, für die gilt $$v(t) = 0$$
​

Lösung:

Stelle die Formel für die Geschwindigkeit nach der Zeit um und setze die gegebenen Werte ein:

​$$v(t) = 0 = v_0 + a(t) \cdot t$$

$$\longrightarrow t = \dfrac{-v_0}{a(t)} = \dfrac{-20\frac{m}{s}}{-9{,}81\,\frac{m}{s^2}} = \underline{2{,}0\,s}$$

Nach zwei Sekunden kommt die Kugel zum Stillstand.

Setze die berechnete Zeit, zusammen mit der gegebenen Anfangsgeschwindigkeit und Anfangshöhe in die Formel für den zurückgelegten Weg $$s(t)$$ ein:​

​$$s(t) = h_0 + v_0\cdot t + \frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2 = 1\,m + 20\,\frac{m}{s} \cdot 2{,}0\,s+\frac{1}{2}\cdot(-9{,}81\,\frac{m}{s^2})\cdot(2{,}0\,s)^2 = \underline{21{,}4\,m}$$

Die Kugel kommt bei einer Höhe von 21,4 Metern zum Stillstand.