Wechselspannung und Funktionsweise eines Generators

Generatoren ermöglichen es, Bewegungsenergie in elektrische Energie, in Form einer Wechselspannung, umzuwandeln. Dazu wird das Induktionsgesetz verwendet. Um den Effekt zu kumulieren, verwendet man Spulen, welche im Grunde genommen $$N$$ aneinander gereihte Schleifen sind. Man sagt, dass die Spule $$N$$​ Windungen hat.

Normalenvektor, Projektion und Skalarprodukt

Massgebend für die Induktion einer Spannung in einer Spule ist der magnetische Fluss. Um den Fluss zu berechnen, brauchst du den Teil des Magnetfeldes, der senkrecht zur Fläche ist. Um das einfacher zu berechnen, verwendet man den Normalenvektor $$\vec{n}$$ , der die Länge 1 hat und senkrecht auf der Fläche $$A$$ steht. Du kannst die Orientierung der Fläche beschreiben, indem du den Flächeninhalt mit dem Normalenvektor multiplizierst: $$\vec{A} = A\,\vec{n}$$. Nun kannst du den Magnetfeldvektor auf den Normalenvektor projizieren.

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B⃗B
10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63
-1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1
-7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59
H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359
c-16-25.333-24-45-24-59z">​​$$\vec{B}\cdot\vec{A} = \vec{B}\cdot A\,\vec{n} = A\cdot B\cdot\cos\alpha$$

​ Dazu verwenden wir das Skalarprodukt zweier​ Vektoren, in der Grafik $$\vec{a}\cdot\vec{b}$$ anstelle von $$\vec{B}\cdot\vec{A}$$

Hinweis: Die Operation ist symmetrisch und es kommt nicht darauf an, welchen Vektor du projizierst und welchen du stehen lässt.

Generator

Um aus Bewegung elektrische Energie zu erzeugen, kannst du eine Spule in einem Magnetfeld drehen. Dadurch entsteht ein magnetischer Fluss $$\Phi$$​, der sich mit der Zeit ändert. Durch die Projektion des Normalenvektors auf das Magnetfeld entsteht eine sinusförmige Zeitabhängigkeit, da sich der Winkel mit konstanter Kreisfrequenz ändert $$\alpha(t) = \omega t$$​. Wenn die Spule $$N$$​ Windungen hat, erhält man:

​$$\Phi(t) = N\cdot A\cdot B\cdot\cos(\omega t)$$​​

Die induzierte Spannung erhält man nun durch Änderung des Flusses:

​$$U_{ind} = \dot{\Phi} = -\omega\cdot N\cdot A\cdot B\cdot\sin(\omega t)$$​​

Da es einfacher ist, ein Magnet herzustellen und zwischen Spulen rotieren zu lassen, kehrt man den Versuchsaufbau in der Praxis um. Das heisst, dass sich jetzt die Richtung des Magnetfeldes ändert anstatt der Ausrichtung der Spule. Aber da die Projektion des Magnetfeldes auf den Normalenvektor das Gleiche ist wie die umgekehrte Projektion, kommt es auf das Gleiche raus.

Zusatzinfo für höhere Klassen

Das Vorzeichen und die Kreisfrequenz erhält man als Faktor durch die Ableitung des magnetischen Flusses.

​$$\dot{\Phi} = \dfrac{d}{dt}\Phi(t) = N\ \vec{B}\cdot\dfrac{d}{dt}\vec{A}(t) = N\ \vec{B}\cdot A\,\dfrac{d}{dt}\vec{n}(t) = N\cdot A\cdot B\cdot\dfrac{d}{dt}\cos(\omega t)$$​

Wechselspannung

Da die daraus erhaltene Spannung kontinuierlich das Vorzeichen und damit die Richtung wechselt, spricht man von einer Wechselspannung, die auch mit AC bezeichnet wird. Die Spannung schwingt zwischen ihrem Maximum und Minimum hin und her, welches man als Scheitelspannung bezeichnet:

$$U_0 = \omega\cdot N\cdot A\cdot B$$

Die Zeit, die zwischen zwei Maxima vergeht, nennt man die Periode und die Rate, mit der die Spannung eine Periode durchläuft, nennt man Frequenz. Die Beziehung zwischen der Frequenz $$f$$​​, der Periode $$T$$​ und der Kreisfrequenz $$\omega$$​ ist durch folgende Gleichung gegeben:​

​​$$f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}$$

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Ein bestimmter Zustand der Spannung wird als die Phase bezeichnet: zum Beispiel das Maximum, Minimum oder der zu- oder abnehmende Nulldurchgang. Zwischen zwei gleichen Phasen vergeht immer eine Periode.

Haushaltsnetz

Zur Versorgung des Haushaltsnetzes werden drei Spulen verwendet. Das erzeugt drei Wechselspannungen, die in der Phase jeweils um $$120 °$$verschoben sind:

​$$U_1 = U_0\sin(\omega t), \quad U_2 = U_0\sin(\omega t+120°), \quad U_3 = U_0\sin(\omega t+240°)$$​​

An der Steckdose sind die Leiter $$L_1,\ L_2$$ und $$L_3$$ an den Nullleiter $$N$$ angeschlossen. Im zeitlichen Mittel erhält man damit eine Spannung von ⁣$$230\ V$$ mit einer Frequenz von etwa $$50\ Hz$$. Die Spannung zwischen zwei Leitern beträgt im Mittel $$400\ V$$. 

Bemerkung: Bei einer Kreisfrequenz von $$50\ Hz$$ macht der Motor $$50$$​ Umdrehungen pro Sekunde.

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