Kraft und die Grundgleichung der Mechanik

Eine Krafteinwirkung sorgt für eine Geschwindigkeitsänderung beim Körper, auf den die Kraft eingewirkt hat. Ohne die Einwirkung einer Kraft behält der Körper seine Bewegung bei wegen der Trägheit. Wie sehr sich die Geschwindigkeit ändert, hängt davon ab, wie lange die Kraft einwirkt und wie stark die einwirkende Kraft ist. Die Kraft hat das Formelzeichen $F$ und die Grundeinheit Newton ( $N$ ).

Hierbei gilt:

$1 \ N=1 \frac{kg \cdot m}{s^2}$

Die Kraft ist eine gerichtete Grösse, daher ist es bei der Kraft auch immer wichtig, neben dem Betrag der Kraft auch dessen Richtung anzugeben. Die Kraft und die Geschwindigkeitsänderung zeigen in die gleiche Richtung.

Kräfte werden deswegen auch oft durch Pfeile dargestellt. Der Pfeil beginnt dann am Körper, auf welchen die Kraft wirkt und zeigt in die Richtung, in welche die Kraft wirkt. Je länger der Pfeil ist, desto grösser ist die wirkende Kraft.

Beispiel:

Bei Magneten stossen sich die gleichen Pole voneinander ab, wie beispielsweise zwei Nordpole. Bei dieser Abstossung wirken Kräfte von einem Nordpol in die Richtung des anderen. Dies lässt sich durch Pfeile (welche die Kraft anzeigen) darstellen:

Die Grundgleichung der Mechanik (2. Newtonsches Gesetz)

Es gibt einen Zusammenhang zwischen der Masse $m$ des Körpers, auf den eine Kraft einwirkt, der Einwirkungsdauer $\Delta t$ , der Geschwindigkeitsänderung $\Delta v$ beim Körper, auf den die Kraft einwirkt und dem Betrag der Kraft $F$ . Dieser lautet, mathematisch ausgerückt:

$F\cdot \Delta t=\Delta v\cdot m$

Dies ist auch als 2. Newtonsches Gesetz bekannt.

Daraus kann man verschiedene Gesetzmässigkeiten ablesen:

1.)	Je grösser die Kraft $F$ ist, desto grösser ist die Geschwindigkeitsänderung $\Delta v$ .
2.)	Je länger die Einwirkungszeit $\Delta t$ ist, desto grösser ist die Geschwindigkeitsänderung $\Delta v$
3.)	Je grösser die Masse $m$ des Körpers ist, desto geringer ist bei gleicher Einwirkung die Geschwindigkeitsänderung $\Delta v$ .

Beispiel:

Ein (ruhender) Fussball der Masse $m= 0{,}43 \ kg=430 \ g$ wird mit einer Kraft von $F=12 \ N$ für eine Zeitdauer von $\Delta t=1\ s$ geschossen. Wie schnell fliegt der Ball dann?

Gegeben: $m=0{,}43 \ kg =430 g$ ; $F=12 \ N$ ; $\Delta t=1 \ s$

gesucht: Geschwindigkeitsänderung $\Delta v$

Dazu wird das 2. Newtonsche Gesetz verwendet. Dieses muss nach der Geschwindigkeitsänderung $\Delta v$ umgestellt werden:

$\begin{aligned}F\cdot \Delta t&=\Delta v\cdot m \qquad |\div m \\\dfrac{F \cdot \Delta t}{m}&=\Delta v\end{aligned}$

In die Gleichung müssen nun nur noch die gegebenen Werte eingesetzt werden:

$\underline{\Delta v}=\dfrac{F\cdot \Delta t}{m}=\dfrac{12 \ N \cdot 1 \ s }{0{,}43 \ kg}=\underline{27{,}91 \frac{m}{s}=100{,}47 \ \frac{km}{h}}$

Anmerkungen:

Ist eine Geschwindigkeitsänderung zu beobachten, so kam es zuvor immer auch zu einer Krafteinwirkung. Das Zweite Newtonsche Gesetz ist fundamental und gilt für alle mechanischen Vorgänge.

Wichtige Formeln

Eine Krafteinwirkung sorgt, wie bereits erwähnt, für eine Geschwindigkeitsänderung. Damit ändert sich automatisch auch der Impuls des Körpers, auf den eingewirkt wird. Setzt man $\Delta p=\Delta v\cdot m$ dann

erhält man eine alternative Form der Definition der Kraft, welche die Impulsänderung mit einbezieht:

$F=\dfrac{\Delta p}{\Delta t}=\dot p$

Alternativ kann man auch die physikalische Grösse Beschleunigung in die Gleichung mit einsetzen, in dem man die Formel $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ verwendet. Dies ergibt Newtons Grundgleichung der Mechanik in ihrer etwas bekannteren Form:

$F=m\cdot \dfrac{\Delta v}{\Delta t}=m\cdot a$

Genau genommen sind die Grössen Kraft, Geschwindigkeitsänderung und Beschleunigung gerichtete, also vektorielle Grössen:

$\overrightarrow{F}=m\cdot \dfrac{\overrightarrow{\Delta v}}{\Delta t}=m\cdot \overrightarrow{a}$

Addition von Kräften

In vielen Situationen wirken mehrere Kräfte gleichzeitig auf einen Körper. Teilweise kommt es auch vor, dass die Teilkräfte in verschiedene Richtungen wirken. So ist es beispielsweise der Fall bei einem gespannten Bogen: durch die Sehnen im Bogen wirken die Kräfte auf den Pfeil beide aus unterschiedlichen Richtungen, dennoch fliegt der Pfeil dann geradeaus weiter. Die beiden Kräfte addieren sich aufeinander auf, sowohl was den Betrag angeht, als auch in der Richtung. Doch Vorsicht, hier ist vektorielle Addition notwendig!

Beispiel:

Ein Pfeil wird von einem gespannten Bogen abgeschossen. Der Aufbau ist wie im folgenden Bild. Es wirken zwei Kräfte auf den Pfeil. Diese wirken entlang der gespannten Bogensehne. Die Bogensehnen stehen beide im $50°$ - Winkel zum Pfeil, das heisst, dass $\alpha=\beta=50°$ ist. Die einzelnen Kräfte haben beide denselben Betrag; es gilt: $|\overrightarrow{F_1}|=|\overrightarrow{F_2}|=15 \ N$ . Der Pfeil wiegt $m=0{,}3 \ kg=300 \ g$ und die Dauer der Krafteinwirkung beträgt $\Delta t=0{,}5 \ s$ . Wie schnell fliegt der (vorher ruhende) Pfeil?

Gegeben: Betrag der Teilkräfte: $|\overrightarrow{F_1}|=|\overrightarrow{F_2}|=15 \ N$ , Masse des Pfeils $m=0{,}3 \ kg=300 \ g$ , Winkel zwischen Pfeil und den Sehnen: $\alpha=\beta=50°$

Gesucht: Geschwindigkeitsänderung des Pfeils $\Delta v$

Die resultierende Kraft auf den Pfeil kann man mit folgender Formel berechnen:

$|\overrightarrow{F_{ges}}|=|\overrightarrow{F_{1}}|\cdot \cos(\alpha)+|\overrightarrow{F_{2}}|\cdot\cos(\alpha)$

Setzt man die gegebenen Werte ein, so ergibt sich:

$|\overrightarrow{F_{ges}}|=15 \ N\cdot \cos(50°)+15 \ N \cdot \cos(50°)=19{,}3 \ N$

Mit dem 2. Newtonschen Gesetz kann man dann die Geschwindigkeitsänderung vom Pfeil bestimmen:

$\underline{\Delta v}=\dfrac{|\overrightarrow{F_{res}}|\cdot \Delta t}{m}=\dfrac{19{,}3 \ N \cdot 0{,}5 \ s}{0{,}3 \ kg }=\underline{32{,}1\overline{6} \ \frac{m}{s} = 115{,}8 \ \frac{km}{h}}$

Kraftzerlegung

In einigen Situationen macht es Sinn, eine Kraft in verschiedene Teilkräfte aufzuteilen. Ein sehr bekanntes Beispiel dafür ist die schiefe Ebene. Dort rutscht dann ein Körper herab oder eine Kugel rollt von der Ebene herunter. Die resultierende Kraft auf den Körper ist die Hangabtriebskraft $\overrightarrow{F_H}$ . Diese lässt sich in zwei Komponenten aufsplitten: Die Gewichtskraft $\overrightarrow{F_G}$ , welche die Kugel senkrecht nach unten zieht und die Kraft, welche die Unterlage der Kugel entgegendrückt: $\overrightarrow{F_u}$ . Die Hangabtriebskraft kann man dann aus den beiden Komponenten berechnen. Dazu kann man die folgenden Formeln verwenden:

Gewichtskraft	$F_G=m\cdot g$
Gegenkraft der Unterlage	$F_u=F_G\cdot \cos(\alpha)$
Hangabtriebskraft	$F_H=F_G\cdot \sin(\alpha)$

Die Kraftzerlegung ist hier dargestellt; der grüne Pfeil kennzeichnet die Gegenkraft der Unterlage $\overrightarrow{F_u}$ , die Hangabtriebskraft heisst in diesem Bild $\overrightarrow{F_{Gx}}$ .

Beispiel:

Welche Hangabtriebskraft wirkt bei der schiefen Ebene aus der Skizze auf einen Körper der Masse $m=50 \ kg$ ?

Gegeben: Winkel $\alpha=30°$ , $m=50 \ kg$

Gesucht: Hangabtriebskraft $\overrightarrow{F_H}$

Daraus kann nun die Hangabtriebskraft berechnet werden:

$\underline{F_H}=F_G\cdot \sin(\alpha)=m\cdot g\cdot \sin(\alpha)=50 \ kg\cdot 9{,}81 \ \frac{m}{s^2}\cdot \sin(30°)=\underline{245{,}25 \ N}$