Energieformen und Energieerhaltung

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Energie

Energie ist eine physikalische Grösse, die unter anderem Bewegungen antreibt und aufrechterhält, welche in Form von elektrischem Strom transportiert wird oder die als Wärmeenergie von der Sonne zu uns transportiert wird. Die Energie ist eine abstrakte Grösse, jedoch ist sie sehr nützlich in allen möglichen physikalischen Rechnungen. Sie tritt in vielen unterschiedlichen Formen auf, wobei die Energie von einer Energieform in eine andere umgewandelt werden kann.

Energieerhaltung

Der Mond dreht sich um die Erde. Dabei variiert sein Abstand zur Erde: Der kleinste Abstand zwischen Erde und Mond beträgt etwa $$363 \ 300 \ \text{km}$$ und der grösste Abstand zwischen den beiden beträgt etwa $$405 \ 500 \ \text{km}$$. Zyklisch wird der Mond in seiner Bewegung langsamer und wieder schneller, aber insgesamt bleibt der Mond auf seiner elliptischen Umlaufbahn, ohne dabei allmählich abzubremsen (oder zu beschleunigen). Was ist nun aber der Antrieb für diese Bewegung? Dies ist die Energie.

Dies ist nur eins von vielen Beispielen, in denen Energie, genauer gesagt Energieerhaltung, eine Rolle spielt. Denn dadurch, dass die Energie des Mondes weder "verschwindet" noch sich "vergrössert", ist es dem Mond möglich, auf seiner elliptischen Umlaufbahn um die Erde zu bleiben. Allgemein besagt die Energieerhaltung das Folgende:

Energie kann nicht erzeugt werden oder verloren gehen, sondern nur von einer Energieform in die andere umgewandelt werden.

Um sich dies ein wenig besser vorstellen zu können, kann man Energie auch als verschiedene Zustände eines Systems betrachten. Dazu schauen wir uns zunächst an, welche Energieformen es gibt.

Höhenenergie

Die Höhenenergie, auch potenzielle Energie genannt, ist eine Energieform, welche ein Körper in sich trägt, sobald er sich in einer gewissen Höhe über dem Erdboden befindet. Je höher der Körper ist, oder desto grösser seine Masse, desto grösser ist seine Höhenenergie. Dies kann man sich so vorstellen: Wenn man einen schweren Stein vom Erdboden aufhebt und ihn so weit hebt, bis er etwa auf Augenhöhe ist, dann fügt man dem Stein durch den Prozess des Anhebens Energie zu. 

Angenommen, unter dem Stein liegt eine kleine Glasplatte. Wenn man nun den Stein über der Glasplatte positioniert und ihn dann loslässt, so wird man sehen, dass die Energie, welche man dem Stein zugefügt hat, ausreicht, um die Glasplatte in Scherben zerbrechen zu lassen. Dies ist nur auf die Höhenenergie zurückzuführen. Hätte man den Stein stattdessen bloss vorsichtig auf die Platte gelegt, dann wäre die Platte wohl noch ganz geblieben. 

Die Höhenenergie $$E_H$$ (manchmal auch potenzielle Energie; $$E_{\text{pot}}$$) kann wie folgt berechnet werden:

$$E_h=m\cdot g\cdot h$$

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Hierbei steht $$m$$ für die Masse des Körpers, meist in der Einheit $$kg$$, $$h$$​ ist die Höhe des Körpers, welche meistens in  $$m$$ angegeben wird und $$g$$ ist eine Konstante. Diese wird Erdbeschleunigung, oder auch Ortsfaktor genannt und hat den Wert $$g=9{,}81\ \frac{m}{s^2}$$. Die Bezeichnung der Konstante zielt darauf ab, dass diese im Zusammenhang mit der Erde steht. Tatsächlich ist es so, dass die Konstante den Wert von $$g=9{,}81\ \frac{m}{s^2}$$ nur auf der Erde hat, auf anderen Planeten gelten andere Zahlenwerte. Da jedoch die allermeisten Aufgaben im Zusammenhang mit der Höhenenergie, welche Dir begegnen werden, auf die Erde bezogen sind, genügt es meistens, Dir diesen Wert zu merken. 

Die gewöhnliche Einheit der Energie ist Joule ($$J$$). Dabei gilt: $$1\ J= 1 N\cdot m = 1 \ \frac{kg \cdot m^2}{s^2}$$​​

Das bedeutet, wenn Du die Masse in $$kg$$ angibst und die Höhe in $$m$$, so bekommst Du automatisch $$J$$ als Energieeinheit heraus.

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Beispiel:

Für einen Stunt will ein Schauspieler aus einem Fenster springen, welches sich in $$6$$​ Metern Höhe befindet. Dazu soll er von seinen Kollegen unten mit einem grossen Tuch aufgefangen werden. Es ist bekannt, dass das Tuch eine maximale Energie von $$5\ 600 \ J$$ aushält, bevor es beginnt zu zerreissen. Wie schwer darf der Schauspieler in diesem Fall maximal sein, damit er sicher durch das Tuch aufgefangen werden kann?

Da beim Fall die komplette Höhenenergie des Schauspielers umgewandelt wird und von der Decke abgebremst werden muss, genügt es, mit der Höhenenergie zu rechnen. Dazu wird die Formel für die Höhenenergie verwendet und diese nach der Masse umgestellt:

$$\begin{aligned}E_H&=m\cdot g \cdot h \qquad | \div h \\\frac{E_H}{h}&= m\cdot g \quad \qquad \ | \div g \\\frac{E_H}{h\cdot g} &=m\end{aligned}$$​​

Nun können die gegebenen Werte eingesetzt werden, um das maximale Gewicht des Schauspielers zu berechnen:

$$\underline{m}= \frac{E_H}{h \cdot g}= \frac{5\ 600 \ J}{6\ m \cdot 9{,}81 \frac{m}{s^2}}= 95{,}14 \ \frac{J}{\frac{m}{s^2}\cdot m}= 95{,}14 \ \frac{kg\cdot m^2 \cdot s^2}{s^2\cdot m^2}= \underline{95{,}14 \ kg }$$​​

Der Schauspieler darf also maximal $$95 \ kg$$ wiegen. 

Kinetische Energie

Die kinetische Energie, manchmal auch Bewegungsenergie genannt, ist die Energie, welcher ein Körper in sich trägt, wenn er sich bewegt. Je schneller sich der Körper bewegt oder je grösser seine Masse ist, desto grösser ist seine kinetische Energie. Die kinetische Energie kann wie folgt berechnet werden:

​$$E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m\cdot v^2$$​​

Hierbei steht $$v$$ für die Geschwindigkeit des Körpers, welche meistens in $$\frac{m}{s}$$ angegeben wird. Ebenso wie die Höhenenergie hat auch die kinetische Energie die Einheit Joule ($$J$$). 

Beispiel:

Der Schauspieler aus dem ersten Beispiel hat sich etwas neues ausgedacht: Für eine weitere Szene des Films möchte er mit seinem Auto, welches mit ihm darin etwa $$1\ 400 \ kg$$ wiegt, gegen eine dünne Wand aus übereinandergestapelten Ziegelsteinen fahren. Es ist bekannt, dass eine Energie von mindestens $$280 \ kJ$$ notwendig ist, um die Mauer komplett einzureissen. Wie schnell muss der Schauspieler also mindestens fahren für den Stunt?​

Zunächst wird die Formel für die kinetische Energie nach der Geschwindigkeit umgestellt. Da bekannt ist, dass der Fahrer frontal gegen die Mauer fahren möchte, wird im folgendem die negative Lösung nicht weiter betrachtet.

$$\begin{aligned}E_{\text{kin}}&=\frac{1}{2}m\cdot v^2 \qquad |\cdot 2\\2E_{\text{kin}}&=m\cdot v^2 \quad \quad \ \ \ |\div m \\\frac{2E_{\text{kin}}}{m}&=v^2 \qquad \quad \quad \ | \sqrt{()}\\\sqrt{\frac{2E_{\text{kin}}}{m}} &=\pm v =v\end{aligned}$$​​

Nun können die gegebenen Werte in die umgestellte Formel eingesetzt werden:

$$\underline{v}=\sqrt{\frac{2E_{\text{kin}}}{m}}=\sqrt{\frac{2 \cdot 140 \ kJ}{1 \ 400 \ kg}}=\sqrt{\frac{2\cdot 140\ 000 \ J}{1\ 400 \ kg}}=\underline{14{,}14 \ \frac{m}{s}=50{,}1 \ \frac{km}{h}}$$​​

Einheitenbetrachtung:

$$\sqrt{\frac{J}{kg}}=\sqrt{\frac{kg\cdot m^2}{s^2 \cdot kg}}=\sqrt{\frac{m^2}{s^2}}=\frac{m}{s}$$​​

Spannenergie einer Feder

In einer gespannten Feder ist Energie gespeichert. Wenn sich die Feder wieder zusammenzieht, dann wird die Energie umgewandelt in kinetische Energie, da sie dabei beispielsweise einen anderen Gegenstand, welcher an der Feder hängt, beschleunigen kann. Die Spannenergie kann wie folgt berechnet werden:

​$$E_{\text{spann}}=\frac{1}{2}D\cdot s^2$$

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Hierbei ist $$s=\Delta L$$, die Längenänderung der Feder beim Spannen und $$D$$ ist die Federkonstante. Diese hängt davon ab, welche Feder man benutzt, ob diese dicker oder dünner ist und aus welchem Material sie gemacht ist. Die Federkonstante wird in Aufgaben mit angegeben. 

Beispiel:

Der Schauspieler aus den vorangegangenen Beispielen hat sich nun etwas noch verrückteres ausgedacht für eine spätere Szene aus dem Film. Er möchte versuchen, in das $$6$$ Meter hoch liegende Fenster, aus dem er zuvor gesprungen ist, hochzuspringen, und das mit Hilfe eines Pogo-Sticks. Das ist eine Art Springstock, worin Metallfedern befestigt sind, mit denen man sehr hochspringen kann. Dafür benötigt er mindestens eine Energie von $$E=5\ 600 \ J$$. Die Federn des Pogo-Sticks haben eine Federkonstante von $$D=8\ \frac{kN}{m}$$ und die Feder kann maximal  ausgelenkt werden um $$s=1\ m$$​. Schafft der Schauspieler den Sprung in das Fenster?

In die Formel für die Spannenergie werden die gegebenen Grössen eingesetzt:

​$$\underline{E_{\text{spann}}}=\frac{1}{2}D\cdot s^2=\frac{1}{2} \cdot 8\ \frac{kN}{m}\cdot(1\ m)^2=\frac{1}{2}\cdot 8\ 000 \ \frac{N}{m}\cdot 1 \ m^2=\underline{4\ 000 \ J}$$​​

Da $$4\ 000 \ J < 5\ 600 \ J$$ ist, reicht die Energie für den Sprung nicht aus. Der Schauspieler wird es so nicht zurück in das Fenster schaffen.

Energieumwandlung

In vielen Bewegungen, unter anderem in den vorangegangenen Beispielen, kommt es zur Energieumwandlung von einer Energieart in eine andere. Oftmals wird kinetische Energie in Höhenenergie umgewandelt und umgekehrt. Dies kann man besonders gut beim Pendel beobachten. Lenkt man ein Pendel aus, so trägt der Pendelkörper am höchsten Punkt ausschliesslich Höhenenergie in sich. Man kann beobachten, dass sich das Pendel direkt am höchsten Punkt keine Geschwindigkeit hat – die Bewegungsrichtung wird dort umgekehrt.

Wenn es sich allerdings zum tiefsten Punkt bewegt, so wandelt es dabei Höhenenergie in kinetische Energie um, so lange, bis am untersten Punkt nur noch kinetische Energie im Pendel steckt. Am niedrigsten Punkt hat das Pendel keinen Abstand mehr zur Ruhelage, seine Höhe ist dort 0. Von diesem Punkt aus wird die Energie wieder umgewandelt, bis das Pendel am höchsten Punkt wieder nur noch Höhenenergie hat, aber keine kinetische Energie mehr und so weiter. 

Dieser Prozess würde theoretische endlos so weiter gehen. Praktisch wird die Bewegung jedoch abgeschwächt durch den Luftwiderstand und weil die Bewegung Reibung erzeugt, am Pendelfaden beispielsweise. Diese Reibung entspricht Wärmeenergie, eine weitere Energieform.

Weitere Energieformen

Andere Energiearten sind beispielsweise elektrische Energie (Strom aus der Steckdose, Blitze), Wärmeenergie (Sonnenstrahlung, Heizung, aber auch Reibung), chemische Energie (chemische Reaktionen), Kernenergie (Atomkraftwerke) und Strahlungsenergie (Strahlung aus der Sonne). 

Gesamtenergie 

Wie bereits erwähnt, gilt in allen physikalischen Prozessen der Energieerhaltungssatz. Das bedeutet, dass die Gesamtenergie eines Systems immer konstant bleiben muss. In mechanischen Prozessen, in welchen nur die Höhenenergie und die kinetische Energie eine Rolle spielen gilt demnach:

​$$E_{\text{ges}}=E_{\text{kin}}+E_H$$​​

 Dies kann man beispielsweise beim Pendel betrachten:

Beispiel

Das Pendel aus der obigen Abbildung wird so weit ausgelenkt, dass die anfängliche Höhe $$h=17 \ m$$ beträgt. Wie schnell ist der Pendelkörper dann am untersten Punkt des Pendels?

Besonders interessant an der Aufgabe ist, dass man die gesuchte Geschwindigkeit des Pendels auch dann berechnen kann, wenn man nicht weiss, wie schwer das Pendel eigentlich ist. 

Im höchsten Punkt (Punkt 1), also in dem Punkt, wo das Pendel ausgelenkt wird,  hat das Pendel nur Höhenenergie, jedoch keine kinetische Energie. Dort gilt also: $$E_{\text{kin},1}=0; \quad \rightarrow E_{\text{ges}}=E_{H,1}$$

Im niedrigsten Punkt des Pendels (Punkt 2) hat das Pendel jedoch nur kinetische Energie, aber keine Höhenenergie. Es gilt also: $$E_{H,2}=0; \quad \rightarrow E_{\text{ges}}=E_{\text{kin},2}$$. Wegen des Energieerhaltungssatzes muss die Gesamtenergie an den beiden Punkten nun allerdings gleich sein. Damit kann eine Energiebilanz aufgestellt werden. Im Folgenden werden die bekannten Formeln eingesetzt.

 $$\begin{aligned}E_{H,1}&=E_{\text{kin},2}\\m\cdot g \cdot h_1&=\frac{1}{2}m\cdot v^2 \qquad |\div m \\g\cdot h_1&=\frac{1}{2}v^2 \end{aligned}$$​

Diese Gleichung soll nun nach $$v$$ umgestellt werden. Erneut wird nur die positive Lösung betrachtet.

$$\begin{aligned} g\cdot h_1&=\frac{1}{2}v^2 \qquad \ |\cdot 2\\2 g\cdot h_1&=v^2 \qquad \quad | \sqrt{()} \\\sqrt{2g\cdot h_1}&=\pm v =v\end{aligned}$$​​​

Nun werden die gegebenen Werte eingesetzt:

$$\underline{v}=\sqrt{2g\cdot h_1}=\sqrt{2\cdot 9{,}81 \ \frac{m}{s^2}\cdot 17\ m}=\underline{18{,}26 \ \frac{m}{s}=65{,}74\ \frac{km}{h}}$$​​