Dopplereffekt und Geschwindigkeitsaddition

Der akustische Dopplereffekt ist Dir sicher bereits im Alltag aufgefallen. Dabei werden Frequenzen von Schallwellen verändert, wenn sich die Schallquelle am Empfänger vorbeibewegt.

Der Effekt tritt beispielsweise bei Krankenwagen auf, die eine Sirene eingeschaltet haben. Der Ton der Sirene klingt viel höher, wenn der Krankenwagen auf den Empfänger zufährt, als wenn der Krankenwagen vom Empfänger wegfährt. Ein ähnliches Phänomen tritt auch mit Lichtwellen auf. Dies wollen wir uns im Folgenden genauer ansehen.

Dopplereffekt bei Lichtwellen

Auch bei Lichtwellen kann ein Dopplereffekt, welcher zur Veränderung der Lichtfrequenz führt, auftreten. Diese Frequenzveränderung äussert sich dann in einer veränderten Farbe des Lichts.
Ein Beobachter, zu welchem sich die Lichtquelle mit der Relativgeschwindigkeit $$v$$​ bewegt, misst $$f_0$$​ als Frequenz der Lichtquelle. Ein Beobachter jedoch, der sich relativ zur Lichtquelle nicht bewegt, misst als Frequenz die sogenannte Ruhefrequenz $$f$$​.

 
Das Verhältnis der beiden Frequenzen hängt nur von der Relativgeschwindigkeit ab. Es kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

$$\frac{f_0}{f}=\sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}$$​ 

Rotverschiebung und Blauverschiebung

Wie man sehen kann, ergeben sich nun zwei unterschiedliche Fälle für den Dopplereffekt, je nach Vorzeichen der Geschwindigkeit $$v$$​. Der erste Fall ist, dass die Geschwindigkeit ein positives Vorzeichen hat. Das steht für den Fall, dass sich die Lichtquelle vom Beobachter entfernt. In dem Fall ist $$f>f_0$$​. Dann handelt es sich um Doppler-Rotverschiebung. Wie der Name schon vermuten lässt, verschiebt sich dabei die Frequenz des Lichtes mehr in den roten Bereich des Spektrums.

Wenn die Geschwindigkeit der Lichtquelle negativ ist, steht dies für eine Bewegung der Lichtquelle auf den Beobachter zu. In dem Fall ist $$f<f_0$$​ und das Licht wird dann blau verschoben. Die Frequenz wird daher mehr in den blauen Bereich des Spektrums verschoben.

Der Zusammenhang zwischen Wellenlänge und Frequenz erfolgt mit der folgenden Gleichung:

​$$f=\frac{c}{\lambda}$$​​

Beispiel:

Ein Raumschiff fliegt auf die Erde zu, mit einer Geschwindigkeit von $$v=0{,}2c$$. Der Beobachter nimmt gelbes Licht wahr, welches eine Wellenlänge von $$\lambda_0=600 \ nm$$ hat. In welcher Farbe wird das Licht von dem Raumschiff ausgesandt?

Gegeben: Relativgeschwindigkeit $$v=0{,}2c$$ und Wellenlänge $$\lambda_0=600 \ nm$$.

Gesucht: Dopplerverschobene Frequenz $$f$$. 

Zunächst berechnen wir die Frequenz aus der Wellenlänge:

​$$f_0=\dfrac{c}{\lambda_0}=\dfrac{3\times 10^8 \ \frac{m}{s}}{600 \times 10^{-9} \ m}=5 \times 10^{14} \ Hz$$​​

Wir stellen die Formel für den optischen Dopplereffekt nach der gesuchten Grösse um.

​$$\begin{aligned}\frac{f_0}{f}&=\sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}\\f_0&=f\cdot \sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}\\f&=\frac{f_0}{\sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}}\end{aligned}$$​​

​

Als Nächstes werden die gegebenen Grössen eingesetzt. Das ergibt:

​$$\begin{aligned}\underline{f}&=\dfrac{f_0}{\sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}}\\&=\dfrac{5\times 10^{14} \ Hz}{\sqrt{\frac{1--0{,}2}{1+-0{,}2}}}\\&=\underline{4{,}082\times 10^{14}\ Hz}\end{aligned}$$​​

Wenn man dies nun zurück in eine Wellenlänge umrechnet, dann erhält man:

$$\underline{\lambda}=\dfrac{c}{f}=\dfrac{3\times 10^8 \ \frac{m}{s}}{4{,}082\times 10^{14} \ Hz}=735\times 10^{-9} \ m =\underline{735 \ nm }$$​​

Diese Frequenz gehört zu Licht mit einer roten Farbe, welches vom Raumschiff ausgesendet wird.

Der optische Dopplereffekt kann unter anderem bei Sternen beobachtet werden. Wenn man genau in den Himmel schaut, erkennt man, dass einige Sterne eher blau erscheinen, während andere Sterne ein eher rötliches Licht ausstrahlen. Je nachdem welche Farbe das Sternenlicht hat, kann man ablesen, ob sich der jeweilige Stern von der Erde entfernt oder sich auf die Erde zubewegt.
Wegen der Expansion des Universums bewegen sich natürlich die meisten Sterne eher von der Erde weg, leuchten also eher rötlich.
Die Schwingungsdauer $$T$$​ erhält man aus dem Kehrwert der Frequenz. Die Schwingungsdauer unterliegt hierbei der Zeitdilatation.

A) Gehört zu einer unbewegten Lichtquelle. Ausgesandte Frequenz stimmt mit wahrgenommener überein. Die blaue Lichtwelle gehört zu einer auf den Beobachter zubewegten Lichtquelle. Dort tritt die Doppler-Blauverschiebung auf. In der untersten Kurve bewegt sich die Lichtquelle vom Beobachter weg. Dort tritt die Doppler-Rotverschiebung auf.

Relativistische Geschwindigkeitsaddition

Die schnellste Geschwindigkeit, mit der sich etwas bewegen kann, ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit $$c$$​. Nichts kann schneller sein als das Licht.
Dies betrifft dann ebenfalls Relativgeschwindigkeiten. Auch wenn sich eine Lichtquelle bewegt, breitet sich das Licht aus dieser Lichtquelle noch mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit $$c$$​ aus.
Die Geschwindigkeitsaddition erhält man dann mit der folgenden Formel:

 
​$$u_0=\dfrac{u+v}{1+\frac{u \cdot v}{c^2}}$$​​

Hierbei ist $$u_0$$​ die Geschwindigkeit im System $$S_0$$​, $$u$$​ die Geschwindigkeit im System $$S$$​ und $$v$$​ die Relativgeschwindigkeit zwischen den Systemen.

Beispiel:

Ein Raumschiff bewegt sich mit $$u'=0{,}8c$$ fort und schiesst dabei eine Rakete in Fahrtrichtung aus, welche sich mit $$v=0{,}6c$$ fortbewegt. Wie schnell bewegt sich die Rakete für einen aussenstehenden Beobachter? 

Würde man dies klassisch betrachten, so wäre das Resultat $$u=u'+v=0{,}6c+0{,}8c=1{,}4c$$, was einen Widerspruch zu der Aussage darstellt, dass sich nichts schneller fortbewegen kann, als das Licht. Benutzt man allerdings die obenstehende Formel, so ergibt sich:

​$$\underline{u}=\dfrac{u'+v}{1+ \frac{u'\cdot v}{c^2}}=\dfrac{0{,}6c+0{,}8c}{1+\frac{0{,}6c\cdot 0{,}8c}{c^2}}=\underline{0{,}946c}$$​​

Die Rakete bewegt sich hier mit einer Geschwindigkeit von $$0{,}946c$$ fort.​

Der klassische Fall als Spezialfall des relativistischen

Auch aus der relativistischen Geschwindigkeitsaddition ergibt sich nochmals die Geschwindigkeitsobergrenze. Setzt man $$v=u=c$$​, so erhält man:

 
​$$u_0=\frac{c+c}{1+\frac{c \cdot c}{c^2}}=\frac{2c}{2}=c$$​​

 
Das bedeutet, dass, selbst wenn sich eine Lichtquelle mit Lichtgeschwindigkeit bewegen würde, hätte das Licht aus der Lichtquelle Lichtgeschwindigkeit.

Ein anderer Spezialfall der relativistischen Geschwindigkeitsaddition ist der Fall, in dem sowohl $$u$$​ als auch $$v$$​ sehr klein sind gegenüber $$c$$​. In dem Fall kann man die Formel der relativistischen Geschwindigkeitsaddition folgendermassen annähern:

 
​$$u_0=\frac{u+v}{1+\frac{u \cdot v}{c^2}} \approx \frac{u+v}{1+0}=u+v$$​​

Wenn die beiden Geschwindigkeiten sehr klein sind, kann man daher in guter Annäherung die normale Geschwindigkeitsaddition verwenden, um die Geschwindigkeit im System $$S_0$$​ zu bestimmen.