Überlagerung von Wellen: konstruktive & destruktive Interferenz

Das Wichtigste in Kürze

Überlagerung tritt auf, wenn sich Wellen überlagern und sich an diesem Punkt zu einer neuen Welle verbinden. Wenn zwei Wellen sich überlagern, kommt es zu Interferenzen. Die Interferenz kann konstruktiv oder destruktiv sein. Der Gangunterschied ist der Unterschied in der Entfernung, die zwei Wellen von einer Quelle zurücklegen.

Gleichungen

Definitionen der Variablen

Überlagerung

Eine Überlagerung tritt auf, wenn sich Wellen überlagern und zu einer einzigen Welle „verschmelzen“. Diese überlagerte Welle tritt nur an dem Punkt auf, an dem sich die Wellen treffen, und verschwindet, wenn die Wellen einander durchlaufen haben.

Das Überlagerungsprinzip besagt, dass bei einer Überlagerung von Wellen die resultierende Auslenkung gleich der Vektorsumme der Einzel-Auslenkungen ist.

Interferenz

Interferenz tritt auf, wenn sich zwei fortschreitende Wellen kontinuierlich überlagern und zu einer resultierenden Welle verbinden. Die Auslenkung dieser Welle folgt dem Überlagerungsprinzip für jeden Punkt der Welle. Sie ist gleich der Summe der Einzel-Auslenkungen der beiden Wellen.

Ein klares Interferenzmuster kann nur entstehen, wenn die beiden Wellen kohärent sind. Das bedeutet, dass sie einen konstanten Phasenunterschied haben, was nur möglich ist, wenn die beiden Wellen die gleiche Frequenz haben.

Hinweis: Verwechsle eine konstante Phasendifferenz nicht mit einer Phasendifferenz von null!

Konstruktive und destruktive Interferenz

Es gibt zwei Arten von Interferenz: konstruktive und destruktive.

Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn die Wellen in Phase sind. Die maximalen Auslenkungen in der gleichen Richtung addieren sich (Berg zu Berg und Tal zu Tal) und führen zu einer Auslenkung mit einer grösseren Amplitude. Dies wird als Maxima bezeichnet.

Da die Intensität proportional zum Quadrat der Amplitude ist, hat ein Maximum eine höhere Intensität.

Destruktive Interferenz tritt auf, wenn die Wellen gegenphasig sind. Die maximalen Auslenkungen in entgegengesetzte Richtungen treffen aufeinander (Wellenberge und Wellentäler) und führen zu einer Auslenkung mit einer kleineren Amplitude oder löschen sich komplett aus. Dies wird als Minima bezeichnet.

Die Intensität eines Minimums wird verringert.

Gangunterschied

Der Gangunterschied zwischen zwei Wellen ist der Unterschied in der Entfernung, die sie von ihrer Quelle zurücklegen. Gangunterschied $$\Delta s$$​ wird normalerweise in Form von Wellenlängen angegeben (z. B. $$1\lambda, \frac{3}{2}\lambda, \space$$usw.)

Der Gangunterschied zwischen den beiden Wellen bestimmt, ob die Wellen konstruktiv oder destruktiv interferieren.

Wenn der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist ($$0, 1\lambda,2\lambda, ...$$), dann überlagern sich die Wellen konstruktiv und bilden ein Maximum. Das liegt daran, dass die Phasendifferenz ein ganzzahliges Vielfaches von $$360 \degree$$oder $$2\pi$$ ist. Die beiden Wellen sind also in Phase.

$$Gangunterschied \space \Delta s = n\lambda \:\:\:\:\:\:\:\text{wobei }n\text{ ganzzahlig ist}$$

Wenn der Gangunterschied ein ungerades ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge ist ($$\frac{1}{2}\lambda, \frac{3}{2}\lambda,...$$), dann überlagern sich die Wellen destruktiv und bilden ein Minimum. Das liegt daran, dass die Phasendifferenz ein ungerades ganzzahliges Vielfaches von 180 Grad ist. Die Wellen sind also gegenphasig.

$$Gangunterschied \space \Delta s = (n+\frac{1}{2})\lambda \:\:\:\:\:\:\:\text{wobei }n\text{ ganzzahlig ist}$$

Wann immer die beiden Wellen aufeinander treffen, kommt es zu konstruktiven und destruktiven Interferenzen. Allerdings führen nur bestimmte Gangunterschiede zu konstruktiven oder destruktiven Interferenzen, die Maxima und Minima bilden.

Beachte: Der Wert von $$n$$ entspricht der n-ten Ordnung des Maximums oder der $$(n+1)$$-ten Ordnung des Minimums. Wenn zum Beispiel eine konstruktive Interferenz bei einem Pfadunterschied von $$1\lambda$$ auftritt, ist dies das Maximum erster Ordnung. Wenn eine destruktive Interferenz bei einem Pfadunterschied von $$\frac{1}{2}\lambda\:,(n=0)$$ auftritt, ist dies das Minimum erster Ordnung.

Interferenz von Schallwellen

Das Interferenzmuster von zwei Lautsprechern, die kohärente Schallwellen in gleichem Abstand von einer vertikalen Linie erzeugen, lässt sich berechnen, indem man den Gangunterschied der Wellen betrachtet.

An den Punkten der konstruktiven Interferenz ist der Schall laut. An den Punkten der destruktiven Interferenz ist der Schall leise.

Ein Mikrofon, das an ein Oszilloskop angeschlossen ist, kann die Intensität der Schallwellen an jedem Punkt messen. Das würde zeigen, wie sich die Interferenz entlang der vertikalen Linie verändert.

Beispiel

Die Abbildung zeigt ein Paar kohärenter Lautsprecher, die einen Schall mit einer Wellenlänge von 4 cm erzeugen. Der Punkt P liegt 0,96 m vom Lautsprecher A (der obere Lautsprecher) und 1,42 m vom Lautsprecher B (der untere Lautsprecher) entfernt. Erkläre mithilfe einer Berechnung, ob der Punkt P ein Minimum oder ein Maximum sein wird.

​

Schreibe zunächst die angegebenen Grössen auf und überprüfe, ob sie in der richtigen Form sind:

Die Entfernung, die die Schallwelle vom Lautsprecher A zum Punkt P zurücklegt, $$d_{AP}= 0{,}96\,m$$

Die Entfernung, die die Schallwelle vom Sprecher B zum Punkt P zurücklegt, $$d_{BP} = 1{,}42\,m$$

$$\lambda = 4\,cm = 0{,}04\,m$$

Schreibe als Nächstes die benötigten Gleichungen auf:

$$Gangunterschied \space \Delta s = d_{BP} - d_{AP}$$

Setze die Werte dann in die Gleichungen ein:

$$\Delta s = 1{,}42\,m - 0{,}96\,m = 0{,}46\,m\newline \Delta s = \dfrac{23}{2}\lambda$$

Der Gangunterschied ist ein halbzahliges Vielfaches der Wellenlänge. Dies entspricht der Definition für den Gangunterschied bei destruktiver Interferenz:

$$\Delta s = (n+\frac{1}{2})\lambda \:\:\:\:\:\:\:\text{wobei }n\text{ ganzzahlig ist}\newline \text{mit}\space n = 11 \newline \Delta s= 0{,}46\,cm$$

Daher tritt im Punkt P destruktive Interferenz auf.