Kepler'sche Gesetze: Ellipsenbahnen, Flächensatz & Umlaufzeiten

Wie lassen sich die Bewegungen von Planeten vorhersagen? Bewegen sich alle Planeten auf dieselbe Art? Auf diese Fragen fand Johannes Kepler eine Antwort. Die nach ihm benannten Kepler'schen Gesetze bieten sich sehr gut dafür an, um die Bewegungen von Planeten zu bestimmen. Ausserdem dienen diese Gesetze als Grundlage für das Newton'sche Gravitationsgesetz.

Die Kepler'schen Gesetze lauten:

1. Kepler'sches Gesetz-Ellipsenbahnen

Alle Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen um die Sonne. In einem der beiden Brennpunkte von jeder Ellipsenbahn steht die Sonne.

2.Kepler'sches Gesetz-Flächensatz

Die gerade Verbindung zwischen Sonne und Planet überstreicht in gleichen Zeiten $$\Delta t$$ gleiche Flächen $$\Delta A$$.

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3. Kepler'sches Gesetz-Umlaufzeiten

Innerhalb eines Planetensystems gilt für die grossen Halbachsen der Ellipsenbahnen $$a_i$$ und die Umlaufzeiten $$T_i$$ sämtlicher Planeten:

 $$\frac{a_1^3}{T_1^2}=\frac{a_2^3}{T_2^2}$$ bzw. $$\frac{a^3}{T^2}=const.$$​​

Zum ersten Kepler'schen Gesetz-Eine Ellipsenbahn

Ellipsen sind Dir in der bisherigen Schulzeit vermutlich bisher noch nicht sehr oft begegnet, daher schauen wir uns zunächst einmal an, was eine Ellipse überhaupt ist. 

Lange dachte man, dass sich die Planeten auf Kreisbahnen bewegen würden und als Annäherung kann man auch immer noch ganz gut davon ausgehen. 

Tatsächlich sind die Planetenbahnen allerdings Ellipsen. Man kann sie beschreiben als lang gezogene Kreise. 

Denn in Ellipsen sind die horizontal eingezeichneten Strecken vom Mittelpunkt zum Rand der Ellipse und die vertikal eingezeichnete Strecke vom Mittelpunkt der Ellipse zu dessen Rand im Allgemeinen nicht gleich lang. Die beiden Strecken nennt man die Halbachsen der Ellipsen. Es gibt eine grosse Halbachse und eine kleine Halbachse.

(Als Spezialfall, wenn die beiden Halbachsen gleich lang sind, erhält man einen Kreis.)

Die Sonne, oder allgemein gesprochen der Zentralkörper des Planetensystems, steht im Brennpunkt der Ellipse. Dieser ist nicht gleichzusetzen mit dem Mittelpunkt der Ellipse. 

Ausserdem hat jede Ellipse zwei Brennpunkte. Man erhält die Brennpunkte, indem man vom Schnittpunkt der kleinen Halbachse mit der Ellipse eine Strecke abträgt, die genauso lang ist, wie die grosse Halbachse. Dort, wo sich diese Strecke mit der tatsächlichen Halbachse schneidet, befinden sich die Brennpunkte. 

In einem der beiden Brennpunkte befindet sich nun die Sonne. Dort, wo der Abstand zwischen Sonne und Planet am kleinsten ist, steht der Planet im Perihel. 

Dort, wo der Abstand zwischen der Sonne und dem Planeten am grössten ist, steht der Planet im Aphel.

Perihel und Aphel bezeichnen hier jeweils die grössten bzw. kleinsten Entfernungen zwischen der Sonne und dem Planeten.

Beispiel:

Wie sieht eigentlich die Ellipse der Erdenbahn aus?

Der Perihel der Erdenellipse beträgt $$r_P=147{,}0568 \ \text{Mio.}\ km=0{,}983 \ AE$$​​

Der Aphel der Erdenellipse beträgt $$r_A=152{,}1432 \ \text{Mio.} \ km=1{,}017 \ AE$$​​

Grosse Halbachse: $$a=149{,}6 \ \text{Mio.} \ km=1\ AE$$

Kleine Halbachse: $$b=149{,}578 \ \text{Mio.} \ km =0{,}99986 \ AE$$​

Hinweis:

$$1\ AE=149{,}6 \ \text{Mio.} \ km$$ bezeichnet die Einheit "Astronomische Einheit". Sie wurde an der grossen Halbachse der Erden-Ellipsenbahn festgemacht und dient als Vergleichsmassstab für kosmische Entfernungen.​

Zum zweiten Kepler'schen Gesetz-Flächensatz

In gleichen Zeiten überstreicht der gedachte Fahrstrahl zwischen Planet und Zentralkörper gleiche Flächen. Doch was sagt das über die Geschwindigkeit des Planeten aus? 

Da sich der Planet auf einer Ellipsenbahn befindet und nicht auf einer Kreisbahn, bewegt sich der Planet nicht immer gleich schnell. 

Die Geschwindigkeit des Planeten wird jeweils grösser, wenn sich der Planet an die Sonne annähert und entsprechend wird die Geschwindigkeit kleiner, wenn der Planet sich wieder etwas von der Sonne entfernt. 

Die unterschiedlichen Entfernungen zur Sonne und die unterschiedlich starken Anziehungskräfte resultieren dann logischerweise auch in einer unterschiedlichen Umlaufzeit für die einzelnen Teilsegmente. 

Kepler hat allerdings den Zusammenhang zwischen den Teilflächen der Ellipse und der Umlaufzeit gefunden. 

Dies wird auch noch einmal im folgenden Bild dargestellt:

Der Planet (hier als schwarzer Punkt dargestellt) braucht genau gleich lange, für die Strecken welche die Ränder der drei Flächen A1. A2 und A3 markieren.

Zum dritten Kepler'schen Gesetz-Umlaufzeiten

Das dritte Kepler'sche Gesetz gibt uns die Möglichkeit, die Umlaufzeit eines anderen Planeten zu bestimmen, wenn wir seine Bahngrösse (genauer gesagt: die grosse Halbachse der Bahn) kennen und wenn die Umlaufzeit und die Bahngrösse von einem anderen Planeten um denselben Zentralkörper bekannt sind. 

Das dritte Kepler'sche Gesetz gibt uns eine Formel, welche genau diesen Zusammenhang verdeutlicht:

​$$\frac{a_1^3}{T_1^2}=\frac{a_2^3}{T_2^2}$$​​

Dies wollen wir im Folgenden an einem kleinen Beispiel ansehen:

Beispiel:

Die Erde hat eine grosse Halbachse von $$a_E=149{,}6 \ \text{Mio.} \ km =1 \ AE$$ und eine Umlaufzeit um die Sonne von $$T_E=1 \ \text{Jahr}$$. Wenn nun der Jupiter eine grosse Halbachse hat von $$a_J=778{,}51 \ \text{Mio.} \ km =5{,}204 \ AE$$, wie lang dauert dann die Jupiter-Umlaufzeit (in Erdenjahren)?​

Das 3. Kepler'sche Gesetz muss also nach der zweiten Umlaufzeit umgestellt werden:

$$\begin{aligned}\frac{a_E^3}{T_E^2}&=\frac{a_J^3}{T_J^2}\qquad \quad | \cdot T_E^2\\a_E^3&=\frac{a_J^3\cdot T_E^2}{T_J^2}\quad |\cdot T_J^2\\T_J^2\cdot a_E^3&=a_J^3\cdot T_E^2 \quad\ |\div a_E^3\\ T_J^2&=\frac{a_J^3\cdot T_E^2}{a_E^3}\\\rightarrow T_J&=\sqrt{\frac{a_J^3 \cdot T_E^2}{a_E^3}}\end{aligned}$$​​

Nun müssen noch die Werte eingesetzt werden:

$$\underline{T_J}=\sqrt{\frac{a_J^3\cdot T_E^2}{a_E^3}}=\sqrt{\frac{(5{,}204 \ AE)^3\cdot (1 \ \text{Jahr})^2}{(1 \ AE)^3}}=\underline{11{,}87 \ \text{Jahre}}$$​​

Der Jupiter hat also eine Umlaufzeit von etwas mehr als 11 Erdenjahren. 

Die Kepler-Konstante 

Im Folgenden wird die Ellipsenbahn, auf welcher sich Planeten bewegen, als Kreisbahn angenähert. Dann kann man die Gravitationskraft gleichsetzen mit der Zentripetalkraft:

​$$\begin{aligned}F_Z&=F_G\\m_E\cdot v^2\cdot \frac{1}{r}&=G\cdot \frac{m_E\cdot m_S}{r^2}\end{aligned}$$​​

Setzt man dann die Gleichung für die Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Bahngeschwindigkeit T ein, nämlich:

​$$v=2\pi\cdot r/T$$​​

Dann erhält man:

​$$\frac{4 \pi^2\cdot r^2}{T^2}\cdot \frac{1}{r}=G \cdot \frac{m_E\cdot m_S}{r^2}$$​​

Daraus kann man nun eine Formel aufstellen, die die Form des dritten Kepler'schen Gesetzes annimmt. Entsprechend ergibt sich die sogenannte Kepler-Konstante, $$C_K$$​​

​$$\frac{r^3}{T^2}=G\cdot \frac{m_S}{4\pi^2}=C_K=const.$$​​

Beispiel:

Die Kepler-Konstante der Sonne lässt sich berechnen, wenn man die Masse der Sonne kennt. Diese ist gegeben durch: $$m=1{,}98892\times10^{30} \ kg$$. 

Daher ist die Kepler-Konstante der Sonne:

​$$\begin{aligned}\underline{C_{K,S}}&=G\cdot \frac{m_S}{4 \pi^2}\\&=6{,}67\times 10^{-11}\ \frac{m^3}{kg\cdot s^2}\cdot \frac{1{,}98892\times10^{30}\ kg}{4\pi^2}\\&=\underline{3{,}36\times 10^{18}\ \frac{m^3}{s^2}\approx1\ \frac{(AE)^3}{(\text{Jahre})^2}}\end{aligned}$$​​

Zusammen mit der Kepler-Konstante ergibt sich das dritte Kepler'sche Gesetz als:

​$$\frac{a_1^3}{T_1^2}=\frac{a_2^3}{T_2^2}=C_K=3{,}36\times10^{18} \ \frac{m^3}{s^2}=1 \ \frac{(AE)^3}{(\text{Jahr})^2}$$​​

Hinweis:

Der Zahlenwert der Kepler-Konstante gilt natürlich nur für unsere Sonne. Wenn eine Umlaufbahn von einem Planeten um einen anderen Himmelskörper berechnet werden soll, muss man die Kepler-Konstante für diesen Zentralkörper neu berechnen.