Kondensator: Formeln, Auf- und Entladung

Mit einem Kondensator kann elektrische Ladung und elektrische Energie gespeichert werden. Ein Kondensator besteht in der Regel immer aus zwei leitenden Körpern (meistens Platten oder Folien), welche entweder durch Luft oder andere Materialien wie Kunststoff oder Glas voneinander isoliert sind. Das Material zwischen den leitenden Körpern wird dabei als Dielektrikum bezeichnet.

Wenn eine Spannung an einen Kondensator anlegt, so wird eine der beiden Platten negativ aufgeladen, die andere Platte wird gleich stark positiv aufgeladen. Die Menge der Ladung $$Q$$​, die beide Platten aufnehmen, ist proportional zu der Potenzialdifferenz $$U$$​ zwischen den beiden Platten:

​$$Q = C \cdot U$$​

Die Proportionalitätskonstante $$C$$ ist die Kapazität des Kondensators. Sie wird in der Einheit Farad angegeben:

​$$1\,\text{Farad} = 1\,F = 1\,\dfrac{C}{V}$$

Die Kapazität eines Kondensators hängt von Grösse, Form, Abstand der beiden Leiter und dem Material des Dielektrikums ab. 

Idealer Plattenkondensator

Gehen wir von einem idealen Plattenkondensator mit zwei gleich grossen Platten mit einfacher Geometrie aus, der sich in Vakuum befindet. So können wir eine Formel für die Kapazität des Kondensators aufstellen. Es gilt:

​$$C = \epsilon_0 \cdot \dfrac{A}{d}$$​​

​$$A$$ ist dabei der Flächeninhalt der Platten, $$d$$ ist der Abstand der Platten und $$\epsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12} \dfrac{A\cdot s}{V\cdot m}$$ ist die elektrische Feldkonstante.

Plattenkondensator mit Dielektrikum

Da es in der Realität meistens nicht vorkommt, dass sich der Plattenkondensator im Vakuum befindet, müssen wir uns überlegen, was passiert, wenn die Platten durch Luft oder andere isolierende Materialien voneinander getrennt sind.

Ein Dielektrikum ist ein nicht leitendes, polarisierbares Material. Befindet sich ein Dielektrikum in einem elektrischen Feld, so wie im Plattenkondensator, so kommt es zu Ladungsverschiebungen in den Molekülen und vorhandene Dipole richten sich gemäss der Feldlinien aus. An den Aussenflächen des Dielektrikums entstehen Oberflächenladungen, welche ein Gegenfeld erzeugen und somit nimmt die Feldstärke innerhalb des Dielektrikums $$E_D$$ insgesamt ab:

​$$E_D = \dfrac{1}{\epsilon_r} \cdot E$$​

Die Proportionalitätskonstante $$\epsilon_r$$ heisst Permittivität oder Dielektrizitätszahl und sie hängt davon ab, wie leicht polarisierbar das Dielektrikum ist.

Füllt man nun den Zwischenraum eines Kondensators vollständig mit einem Dielektrikum der Permittivität $$\epsilon_r$$, so ergibt sich für dessen Kapazität:

$$C = \epsilon_r \cdot \epsilon_0 \cdot \dfrac{A}{d}$$​​
\eps​​

Je grösser also die Permittivität des Dielektrikums, desto grösser ist die Kapazität des Kondensators.

Beispiel

Berechne die Kapazität eines Plattenkondensators, der aus zwei rechteckigen Leiterplatten, mit den Seitenlängen $$5\, cm$$ und $$3\,cm$$ besteht, welche durch eine $$3\,cm$$ dicke Glasschicht voneinander getrennt sind.

Gegeben: Seitenlängen $$a = 5\,cm$$ & $$b = 3\,cm$$, Abstand $$d = 3\,cm$$, aus der Tabelle: Permittivität von Glas $$\epsilon_r = 5$$

Gesucht: Kapazität $$C$$

Lösung:

Berechne zunächst den Flächeninhalt der Leiterplatten:

$$A = 5 \cdot 3\, cm^2 = 15\,cm^2 = 0{,}0015 \ m^2$$

Setze dann die Werte in die Formel für die Kapazität ein:

$$C = \epsilon_r \cdot \epsilon_0 \cdot \dfrac{A}{d} = 5 \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \dfrac{A\cdot s}{V\cdot m} \cdot \dfrac{0{,}0015\,m^2}{0{,}03\,m} = 2{,}2 \cdot 10^{-12}\,F = \underline{2{,}2\,pF}$$

Der Kondensator hat also eine Kapazität von 2,2 Pikofarad.

Beispiel

Das Dielektrikum, welches sich zwischen den Leiterplatten befindet, wird nun durch eine Gummischicht ersetzt. Wie dick muss diese sein, damit die Kapazität gleich gross bleibt?

​Gegeben: Fläche $$A = 0{,}0015\,m^2$$​, Kapazität $$C = 2{,}2\,pF$$​, aus der Tabelle: Permittivität von Gummi $$\epsilon_r = 6{,}7$$​
​

Gesucht: Abstand $$d$$

Lösung: ​

Stelle die Formel nach dem Abstand um und setze die gegebenen Werte ein:

$$d = \epsilon_r \cdot \epsilon_0 \cdot \dfrac{A}{C} = 6{,}7 \cdot 8{,}85\cdot 10^{-12} \dfrac{A\cdot s}{V\cdot m} \cdot \dfrac{0{,}0015\,m^2}{2{,}2 \cdot 10^{-12}\,F} = 0{,}04\,m = \underline{4\,cm}$$

Die Gummischicht müsste 4 cm dick sein.​

Auf und Entladen eines Kondensators

​Der Kondensator sei zunächst ungeladen und somit elektrisch neutral.

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Aufladen

Schliessen wir jetzt eine Spannung an die beiden Leiterplatten an, so wird sich die eine Platte mit einer positiven Ladung $$Q$$ aufladen, die andere mit einer gleich grossen, aber negativen Ladung $$-Q$$ aufladen. 

Durch die entgegengesetzte Ladung der beiden Platten baut sich eine immer grösser werdende Potenzialdifferenz bzw. Spannung zwischen beiden Platten auf. Diese Spannung ist der Spannung der Elektrizitätsquelle entgegengerichtet.

Ist die aufgebaute Spannung betragsmässig gleich gross wie die angelegte Spannung, ist der Kondensator vollständig aufgeladen.

Speicherung der Energie

Entfernen wir jetzt die Elektrizitätsquelle, so bleibt die Ladung auf den Kondensatorplatten erhalten. Der Kondensator speichert also elektrische Ladung und somit auch elektrische Energie.

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Entladen

Der aufgeladene Kondensator kann jetzt einfach als Elektrizitätsquelle verwendet werden. Schliessen wir zum Beispiel eine Glühlampe an den beiden Kondensatorplatten an, so beginnt, angetrieben von der Potenzialdifferenz der Leiterplatten, elektrische Ladung zu fliessen und die Lampe leuchtet. Dies passiert so lange, bis der Elektronenüberschuss der einen Platte bzw. der Elektronenmangel der anderen, ausgeglichen sind und der Kondensator wieder elektrisch neutral bzw. ungeladen ist.

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