Energie schwingender Körper berechnen

Wie Du vielleicht weisst, hat ein Körper der sich bewegt auch eine Energie. Das gilt so auch für ein Pendel, also einen schwingenden Körper. Das Pendel hat kinetische Energie $$E_\text{kin}$$, aber auch eine potenzielle Energie $$E_\text{pot}$$​. Die potenzielle Energie kann zum Beispiel durch das Schwerefeld der Erde entstehen, aber auch durch eine Feder, die ausgelenkt wird.

Energiebilanz

Bei einer Schwingung wandeln sich zwei Energieformen laufend ineinander um. Wenn ein Pendel am Umkehrpunkt angelangt ist, bewegt es sich kurz nicht mehr. Dann ist auch die kinetische Energie null. Gleichzeitig ist das aber auch der höchste Punkt in der ganzen Schwingung, das heisst, die potenzielle Energie ist jetzt maximal.

Wie Du sicher weisst, gilt bei abgeschlossenen Systemen die Energieerhaltung. So ist das auch bei einem schwingenden Körper, das heisst also, dass die Summe über alle Energien konstant ist, und zwar:

​$$E_\text{ges} = E_\text{pot} + E_\text{kin} = m\cdot g\cdot h + \dfrac{1}{2} m v^2 = \text{konst.}$$

​​

So kannst Du also zu jedem Zeitpunkt die Energie des schwingenden Körpers ausrechnen.

​

Beispiel

Ein Pendel habe in Position 3 (siehe Grafik) eine Geschwindigkeit von $$2\frac{\text{m}}{\text{s}}$$. Wie hoch wird das Pendel dann schwingen?​

Gegeben: Geschwindigkeit $$v$$​

Gesucht: Höhe $$h$$ des Pendels

Lösung: An Position 3 ist die kinetische Energie maximal und die potenzielle Energie gerade null. Du kannst also einfach die Gesamtenergie ausrechnen:

$$E_\text{ges} = E_\text{pot} + E_\text{kin} = 0 + \dfrac{1}{2} m v_\text{max}^2 = \dfrac{1}{2} m v_\text{max}^2$$

​​​

Die Masse des Pendels ist leider nicht gegeben, das ist aber kein Problem. Nun rechnest Du die Höhe des Pendels aus der Energieerhaltung aus. Dabei kannst Du ausnutzen, dass am höchsten Punkt die kinetische Energie null ist:

$$E_\text{ges} = E_\text{pot} + E_\text{kin} = m \cdot g \cdot h + 0 = m\cdot g\cdot h$$

​​

Jetzt kannst Du beide Ausdrücke gleich setzen. Dabei kürzt sich die Masse heraus und Du kannst nach der Höhe umstellen:

$$\begin{aligned}m\cdot g\cdot h &= \dfrac{1}{2}mv_\text{max}^2\\g\cdot h &= \dfrac{1}{2}v_\text{max}^2\\h &= \dfrac{1}{2g}v_\text{max}^2 \end{aligned}$$

Dann musst Du nur noch einsetzen:

$$\underline{h} = \dfrac{1}{2g}v_\text{max}^2 = \dfrac{1}{2\cdot 9,81\,\text{m}/\text{s}^2} \cdot (2\,\text{m}/\text{s})^2 = \underline{0,2\,\text{m}}$$​​​

​

​

Harmonische Schwingung

Vielleicht erinnerst Du Dich, dass eine harmonische Schwingung durch eine Sinus-Funktion beschrieben werden kann, also $$y(t) = y_\text{max} \cdot \sin(\omega t)$$​. Beim Federpendel war die potenzielle Energie gleich $$E_\text{pot}(t) = \dfrac{1}{2} D\cdot y(t)^2$$​. Wenn Du jetzt den Ausdruck für $$y(t)$$ einsetzt, siehst Du, dass sich auch die Energie genauso periodisch verhält:

​$$E_\text{pot}(t) = \dfrac{1}{2}D\cdot y(t)^2 = \dfrac{1}{2}D\cdot \left(y_\text{max}\cdot \sin(\omega t)\right)^2$$

​​

Das Gleiche gilt auch bei der Geschwindigkeit, dort ist nämlich $$v(t) = v_\text{max} \cdot \cos(\omega t)$$​:

​$$E_\text{kin}(t) = \dfrac{1}{2}m\cdot v(t)^2 = \dfrac{1}{2}m\cdot \left(v_\text{max}\cdot \cos(\omega t)\right)^2$$

​​

Wenn Du das Ganze zeichnest, sieht das wie folgt, aus: 

Wie Du in der Grafik siehst, ist die Energie zu jedem Zeitpunkt konstant. Kinetische Energie wird einfach periodisch in potenzielle Energie umgewandelt und umgekehrt.