Gedämpfte und konstante Schwingung

Die allermeisten Schwingungen, die Du im Alltag beobachtest, hören früher oder später von alleine auf. Diese Art von Schwingungen heisst gedämpfte Schwingung. Bei einer gedämpften Schwingung nimmt die Amplitude der Schwingung laufend ab.

Grund dafür ist, dass die kinetische Energie nicht vollständig in potenzielle Energie (oder umgekehrt) umgewandelt wird. Es ist nämlich eine Reibungskraft im Spiel.

Beispiel

Wenn Du auf einer schwingenden Schaukel sitzt und nicht aktiv mitschwingst, bleibt die Schaukel nach einiger Zeit von alleine stehen. Grund dafür sind Reibungsverluste an der Aufhängung oder an der Luft. Die Energie, die dann nicht mehr in der Schwingung steckt, geht in eine andere Energieform über.

Konstante Dämpfung

Im einfachsten Fall ist die Reibungskraft $$F_R$$⁣, die auf den schwingenden Körper wirkt, immer gleich (konstant). Von einem Umkehrpunkt $$y_1$$​ zum anderen $$y_2$$​, ist die Amplitude, die verloren geht, immer die Gleiche. Bei einem Federpendel mit Federkonstante $$D$$​ kannst Du das schreiben als:

​$$y_2 = y_1 - \dfrac{2F_R}{D}$$

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Wie Du im Bild siehst, ist die eigentliche Schwingung von zwei Geraden eingehüllt.

Beispiel

Auf ein Federpendel mit einer Federkonstante von $$D=4\,\frac{\text{N}}{\text{m}}$$​ wirkt eine Reibungskraft von $$F_R = 1\,\text{N}$$​. Die anfängliche Amplitude beträgt $$y_1 = 2\,\text{m}$$​. Wie gross ist die Amplitude noch nach einer Periode?

Gegeben: $$D=4\,\frac{\text{N}}{\text{m}}$$​, $$F_R = 1\,\text{N}$$​, $$y_1 = 2\,\text{m}$$​​

Gesucht: Amplitude nach einer Periode, also $$y_3$$​.

Lösung:

Zuerst berechnest Du die Amplitude am ersten Umkehrpunkt $$y_2$$​​

$$y_2 = y_1 - \dfrac{2F_R}{D} = 2\,\text{m} - \dfrac{2\cdot 1\,\text{N}}{4\frac{\text{N}}{\text{m}}} = 1,5\,\text{m}$$​​

Dann machst Du das Gleiche für $$y_3$$​​

$$\underline{y_3} = y_2 - \dfrac{2F_R}{D} = 1,5\,\text{m} - \dfrac{2\cdot 1\,\text{N}}{4\frac{\text{N}}{\text{m}}} = \underline{1\,\text{m}}$$​​

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​Lineare Dämpfung

Bei der linearen Dämpfung hängt die Stärke der Dämpfung von der Geschwindigkeit des schwingenden Körpers ab, also $$F_R(v) = -b\cdot v$$​. Je schneller dieser wird, desto grösser ist die Dämpfung.

Im Gegensatz zur konstanten Dämpfung nimmt die Amplitude nicht immer um den gleichen Wert ab, sondern um den gleichen Bruchteil. Die Schwingung klingt also exponentiell ab.

In dem unteren Bild siehst Du, wie die Schwingung von Exponentialfunktionen eingehüllt wird.

Die zugehörige Gleichung $$y(t)$$ kennst Du eigentlich schon. Es ist nur noch ein Dämpfungs-Term dazu gekommen:

​$$y(t) = \underbrace{y_\text{max} \cdot \cos(\omega t)}_{\text{Schwingung}} \underbrace{\cdot \mathrm{e}^{-\delta\cdot t}}_{\text{Dämpfung}}$$​​

Das $$\delta = \frac{b}{2m}$$ gibt einfach an, wie stark die Dämpfung ist.

Beispiel

Angenommen eine Schwingung mit $$y_1=1\,\text{m}$$​ verliert jede Periode ein Viertel ihrer Amplitude, also $$y_3= \frac{3}{4}y_1$$​, wie gross ist dann die Amplitude $$y_5$$​?

Gegeben: Abnahme der Amplitude auf $$\frac{3}{4}$$​

Gesucht: Amplitude nach zwei Perioden $$y_5$$

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Lösung:

Zuerst berechnest Du $$y_3$$​​

$$y_3 = \dfrac{3}{4}y_1 = \dfrac{3}{4} \cdot 1\,\text{m} = 0,75\,\text{m}$$​​

Dann kannst Du $$y_5$$​ aus $$y_3$$​ berechnen

​$$\underline{y_5} = \dfrac{3}{4}y_3 = \dfrac{3}{4} \cdot 0,75\,\text{m} = \underline{0,56\,\text{m}}$$​​

Starke Dämpfung

Wenn die Reibung sehr stark ist, dann schwingt ein Körper überhaupt nicht mehr. Dieser kriecht dann nur ein einziges Mal zurück in die Ruhelage und bleibt dort stehen.

Beispiel​

Stelle Dir ein Pendel in Honig vor. Das Pendel kriecht nur ganz langsam zurück in die Ruhelage, bevor es dann ganz steht.​​