​Coulomb'sches Gesetz und Radialfeld

Du weisst sicher bereits, dass elektrisch geladene Körper Kräfte auf andere geladene Körper auswirken. Auch auf elektrische Leiter wirken in der Nähe von elektrisch geladenen Körpern Kräfte und sogar in Isolatoren können sich die Ladungen innerhalb von Atomen und Molekülen verschieben. Diese Kräfte, die in der Nähe von geladenen Körpern entstehen, können von einem elektrischen Feld beschrieben werden, welches sie umgibt.

Elektrisches Feld

Das Feldkonzept besagt, dass um einen geladenen Körper ein elektrisches Feld herrscht, in dem Kräfte auf andere Körper ausgeübt werden.

Um elektrische Felder zu veranschaulichen, zeichnet man Feldlinien. Diese zeigen in jedem Punkt die Richtung an, in welche Kräfte auf einen positiv geladenen Körper im Feld wirken würden. Betrachtet man zum Beispiel das elektrische Feld einer positiven Punktladung, dann zeigen die elektrischen Feldlinien wie Strahlen radial von dieser weg. 

Um ein elektrisches Feld auch quantitativ zu beschreiben, wird die elektrische Feldstärke $$E$$ eingeführt. Sie beschreibt, wie stark die Kraft $$F$$ ist, welche auf einen Probekörper mit Ladung $$q$$ wirkt:

​$$\overrightarrow{E} = \dfrac{\overrightarrow{F}}{q}$$

Die Einheit der elektrischen Feldstärke ist $$\left[ \frac{\text{Newton}}{\text{Coulomb}} \right]$$​.

An dem Pfeil über dem Formelzeichen kannst du erkennen, dass die elektrische Feldstärke, genau wie die Kraft, eine gerichtete Grösse ist. Die Richtung hängt davon ab, ob $$q$$ negativ oder positiv ist. 

Feldstärke im Radialfeld

Das elektrische Feld einer Punktladung $$Q$$ oder geladenen Kugel ist, wie bereits erwähnt, radialsymmetrisch. Die Kraft, die auf eine Probeladung $$q$$ wirkt, welche sich in diesem Feld befindet, nimmt mit steigender Entfernung zur Punktladung $$Q$$ proportional zum Abstand $$r$$ im Quadrat ab. Diese Relation findet sich auch in der Formel für die elektrische Feldstärke wieder:

$$E = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \dfrac{Q}{r^2}$$

​$$\epsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12}\, \dfrac{A\cdot s}{V\cdot m}$$ ist die elektrische Feldkonstante.​

Das elektrische Potenzial $$\phi$$ kann dann analog für einen Punkt im Abstand $$r$$ zur Punktladung $$Q$$ definiert werden:
rr

​$$\phi = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \dfrac{Q}{r}$$

Dieses Potenzial wird auch als Coulomb-Potenzial bezeichnet.​

Coulomb'sches Gesetz

Analog zu den Gravitationskräften, welche zwei Körper mit einer bestimmten Masse aufeinander ausüben, gibt es auch elektrische Kräfte, welche zwei geladene Körper aufeinander ausüben. Das Coulomb'sche Gesetz besagt, dass zwei geladene Kugeln/Punktladungen $$Q_1$$ und $$Q_2$$, deren Mittelpunkte sich im Abstand $$r$$ zueinander befinden, gegenseitig gleich grosse Kräfte $$F$$ aufeinander ausüben, deren Betrag nur von Ladung und Abstand der Kugeln abhängt:

​$$F = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \dfrac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2}$$

Das Gesetz ist relativ leicht herzuleiten mithilfe der Formel für die elektrische Feldstärke eines Radialfelds, welche wir oben definiert haben. Gehen wir davon aus, dass sich eine Kugel, welche die Ladung $$Q_2$$ besitzt, in dem elektrischen Feld einer zweiten Kugel, welche die Ladung $$Q_1$$ besitzt, befindet. Die elektrische Feldstärke des Feldes in einem Punkt, welcher im Abstand $$r$$ zu $$Q_1$$ ist, ist dann definiert als:

​$$E = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \dfrac{Q_1}{r^2}$$​​

Damit können wir die Kraft berechnen, welche auf einen geladenen Körper wirkt, der sich in dem elektrischen Feld befindet. Auf $$Q_2$$ wirkt nämlich die Kraft $$F_2$$​:

$$F_2 = E \cdot Q_2 = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \dfrac{Q_1}{r^2} \cdot Q_2$$​​

Analog würde für die Kraft $$F_1$$, welche auf die Ladung $$Q_1$$ wirkt, wenn sie sich im elektrischen Radialfeld der Ladung $$Q_2$$ befindet, gelten:

​$$F_1 = E \cdot Q_1 = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \dfrac{Q_2}{r^2} \cdot Q_1$$

Die Kräfte $$F_1$$ und $$F_2$$ sind also genau gleich gross.

Beispiel

Im Bohrschen Atommodell befindet sich der positiv geladene Atomkern im Zentrum von Elektronenschalen, auf welchen sich die negativ geladenen Elektronen befinden. Der Bohrsche Atomradius $$a_0 \approx 5 \cdot 10^{-11}\,m$$ beschreibt den Abstand der ersten Elektronenschale vom Mittelpunkt des Atomkerns im Wasserstoffatom. Berechne die Coulomb-Kraft, welche auf das Elektron im Wasserstoffatom wirkt.

Gegeben: Ladung Proton $$e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,C$$, Ladung Elektron $$-e = -1{,}6 \cdot 10^{-19}\,C$$, Abstand $$r = a_0 = 5 \cdot 10^{-11}\,m$$

Gesucht: Coulomb-Kraft $$F$$​

Lösung:

Setze die gegebenen Werte in die Formel für die Coulomb-Kraft ein:

​$$F = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \dfrac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \dfrac{e \cdot -e}{a_0^2} = - \dfrac{1}{4\pi\cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12}\, \dfrac{C}{V\cdot m}} \cdot \dfrac{ 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,C \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,C}{(5\cdot 10^{-11}m)^2} \approx \underline{-8{,2} \cdot 10^{-8}\,N}$$