Mathematische Beschreibung einer harmonischen Welle

Eine Schwingung ist ein sich zeitlich wiederholender Vorgang. Das heisst, dass nach einer gewissen Zeit eine charakteristische Grösse wieder gleich ist.

Eine Schwingung heisst harmonisch, wenn sie sich durch eine Sinus-Funktion beschreiben lässt. Breitet sich so eine harmonische Schwingung räumlich aus, spricht man von einer harmonischen Welle. Eine harmonische Welle breitet sich sinusförmig im Raum aus, wobei ein Oszillator seine Energie verlustfrei an den benachbarten Oszillator weitergibt.

Mathematische Beschreibung 

Wenn wir die harmonische Welle örtlich fixieren würden, so könnten wir sie mit der bereits bekannten Formel zur harmonischen Schwingung beschreiben:

​$$y(t) = y_\text{max} \cdot \sin(\omega \cdot t +\varphi_0)$$​

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Die Auslenkung $$y$$​ ist dann eine Grösse, die sich als Funktion der Zeit $$t$$ wiederholt. Der Phasenwinkel $$\varphi_0$$​ beschreibt, in welcher Position die Schwingung startet. Die Kreisfrequenz $$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$$​ gibt an, wie schnell sich die Schwingung wiederholt.

Wenn wir eine Momentaufnahme der Welle machen würden, sie also zeitlich fixieren würden, dann würde ihre räumliche Verteilung auch durch eine Sinusfunktion beschrieben werden:

​$$y(x) = y_{max} \cdot \sin\left(-2\pi \cdot \frac{x}{\lambda}\right)$$,

wobei $$\lambda$$ die Wellenlänge ist, also der Abstand von zwei gleichphasigen Oszillatoren in Ausbreitungsrichtung (z. B. Abstand Wellenberg-Wellenberg).

Nehmen wir an $$\varphi_0 = 0$$ und kombinieren sowohl den räumlichen, als auch den zeitlichen Verlauf, so ergibt sich die Wellenfunktion:

​$$y(x,t) = y_{max} \cdot \sin\left(\omega \cdot t - 2\pi \cdot \frac{x}{\lambda}\right)$$​

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der harmonischen Welle ergibt sich daraus als:

$$c = \lambda \cdot f$$,

wobei die Frequenz $$f$$ einer Welle die Frequenz ihrer Oszillatoren ist.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle hängt davon ab, wie stark die Oszillatoren aneinander gekoppelt sind.

Beispiel

Betrachten wir eine Reihe von Federpendeln, die aneinander gekoppelt sind, so breitet sich die Welle schneller aus, je grösser die Federkonstante ist. Das liegt daran, dass stärkere Federn die benachbarten Oszillatoren stärker beschleunigen können.

​​Beispiel

Eine harmonische Welle breitet sich ungestört in x-Richtung aus. Ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit beträgt dabei $$c = 65 \frac{mm}{s}$$. Die maximale Auslenkung beträgt $$y_{max} = 2\,cm$$ und die Kreisfrequenz ist $$\omega = \pi \cdot \frac{1}{s}$$. Berechne Frequenz, Periodendauer und Wellenlänge und stelle die Wellenfunktion auf.

Gegeben: Ausbreitungsgeschwindigkeit $$c = 65 \frac{mm}{s}$$ , maximale Auslenkung $$y_{max} = 2\,cm$$, Kreisfrequenz $$\omega = \pi \cdot \frac{1}{s}$$

Gesucht: 

1. Frequenz $$f$$, Periodendauer $$T$$, Wellenlänge $$\lambda$$​

2. Wellenfunktion

Lösung:

1. Wir wissen, dass $$\omega = \frac{2\pi}{T}$$. Stellen wir diese Formel nach T um, so können wir direkt die Periodendauer berechnen:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi}\,s = \underline{2\,s}$$

Nun lässt sich auch direkt die Frequenz f berechnen:

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2} Hz$$

Die Wellenlänge kann auch einfach mit der oben genannten Formel berechnet werden:

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$$\lambda = \dfrac{c}{f} = \dfrac{65\frac{mm}{s}}{0{,}5 \frac{1}{s}} = 130\,mm = \underline{13\,cm}$$

2. Mit den berechneten und gegebenen Grössen können wir direkt die Wellenfunktion aufstellen:

$$y(x,t) = y_{max} \cdot \sin\left(\omega \cdot t - 2\pi \cdot \frac{x}{\lambda}\right) = 2\,cm \cdot \sin\left(\pi\cdot t - 2\pi \cdot \frac{x}{13\,cm}\right)$$

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