Speicherung von elektrischer Energie mit einem Kondensator

Mit einem Kondensator kann elektrische Ladung und elektrische Energie gespeichert werden. Ein Kondensator besteht in der Regel immer aus zwei leitenden Körpern (meistens Platten oder Folien), welche entweder durch Luft oder andere Materialien wie Kunststoff oder Glas voneinander isoliert sind. Das Material zwischen den leitenden Körpern wird dabei als Dielektrikum bezeichnet.

Wenn eine Spannung an einen Kondensator anlegt, so wird eine der beiden Platten negativ aufgeladen, die andere Platte wird gleich stark positiv aufgeladen. 

Die Menge der Ladung $$Q$$​, die beide Platten aufnehmen, ist proportional zu der Potenzialdifferenz $$U$$​ zwischen den beiden Platten:

​$$Q = C \cdot U$$​

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Die Proportionalitätskonstante $$C$$ ist die Kapazität des Kondensators. Sie wird in der Einheit Farad angegeben:

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​$$1\,\text{Farad} = 1\,F = 1\,\dfrac{C}{V}$$

Die Kapazität eines Kondensators hängt vom Flächeninhalt $$A$$​, Abstand der beiden Leiter $$d$$ und der Permittivität $$\epsilon_r$$ des Dielektrikums ab:

​$$C = \epsilon_r \cdot \epsilon_0 \cdot \dfrac{A}{d}$$

Auf und Entladen eines Kondensators

​Der Kondensator sei zunächst ungeladen und somit elektrisch neutral.

​

Aufladen

Schliessen wir jetzt eine Spannung an die beiden Leiterplatten an, so wird sich die eine Platte mit einer positiven Ladung $$Q$$ aufladen, die andere mit einer gleich grossen, aber negativen Ladung $$-Q$$ aufladen. 

Durch die entgegengesetzte Ladung der beiden Platten baut sich eine immer grösser werdende Potenzialdifferenz bzw. Spannung zwischen beiden Platten auf. Diese Spannung ist der Spannung der Elektrizitätsquelle entgegengerichtet.

Ist die aufgebaute Spannung betragsmässig gleich gross wie die angelegte Spannung, ist der Kondensator vollständig aufgeladen.

Speicherung der Energie

Entfernen wir jetzt die Elektrizitätsquelle, so bleibt die Ladung auf den Kondensatorplatten erhalten. Der Kondensator speichert also elektrische Ladung und somit auch elektrische Energie. Die gespeicherte Energie $$W$$ hängt dabei von der Kapazität $$C$$ des Kondensators und der Potenzialdifferenz/Spannung $$U$$ ab, die sich zwischen den beiden Platten aufgebaut hat:

​$$W = \dfrac{1}{2} \cdot Q \cdot U = \dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U^2 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{Q^2}{C}$$​​

Sie kann auch in Abhängigkeit von der Ladung $$Q$$, welche im Kondensator gespeichert ist, berechnet werden.

Entladen

Der aufgeladene Kondensator kann jetzt einfach als Elektrizitätsquelle verwendet werden. Schliessen wir zum Beispiel eine Glühlampe an den beiden Kondensatorplatten an, so beginnt, angetrieben von der Potenzialdifferenz der Leiterplatten, elektrische Ladung zu fliessen und die Lampe leuchtet. Dies passiert so lange, bis der Elektronenüberschuss der einen Platte bzw. der Elektronenmangel der anderen, ausgeglichen sind und der Kondensator wieder elektrisch neutral bzw. ungeladen ist.

Beispiel 

Ein Kondensator mit einer Kapazität von 50 Pikofarad wird mit einer Spannung von 120 Volt aufgeladen. Wie viel elektrische Energie ist nach der Aufladung in dem Kondensator gespeichert?

Gegeben: Kapazität $$C = 50\,pF$$, Spannung $$U = 120\,V$$

Gesucht: gespeicherte Energie $$W$$​​

Lösung:

Verwende die obige Formel und setze die Werte ein. Achte dabei darauf, die Werte gegebenenfalls in die richtige Einheit umzurechnen:

​$$W = \dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 50 \cdot 10^{-12}\,F \cdot (120\,V)^2 = \underline{3{,}6 \cdot 10^{-7}\,J }$$

Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren

Will man das Speichervermögen eines Kondensators erhöhen, so muss man die Kapazität des Kondensators erhöhen, in dem man beispielsweise grössere Platten verwendet oder den Abstand verringert. Allerdings ist dies praktisch oft nicht umsetzbar oder sinnvoll. Da man die Kondensatorplatten nicht beliebig weit angenähert werden können und auch nicht beliebig gross werden können. 

Eine weitere Möglichkeit das Speichervermögen zu erhöhen ist es, mehrere Kondensatoren parallel zu schalten. In einer Parallelschaltung von Kondensatoren addieren sich nämlich deren Kapazitäten:

​$$C_{ges} = C_1 + C_2 + C_3 + ...$$​

In einer Reihenschaltung hingegen ist die Gesamtkapazität kleiner als die kleinste der Einzelkapazitäten. Hier addieren sich die Kehrwerte der Einzelkapazitäten und ergeben den Kehrwert der Gesamtkapazität:

$$\dfrac{1}{C_{ges}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \dfrac{1}{C_3} + ...$$

Beispiel​

Wie viele der Kondensatoren aus dem ersten Beispiel müsste man parallel schalten, um eine elektrische Energie von 2 Joule speichern zu können? Wäre dieses Vorhaben realistischerweise umsetzbar?

Gegeben: Einzelkapazität $$C_1 = 50\,pF = 50 \cdot 10^{-12}\,F$$, Spannung $$U = 120\,V$$​, gespeicherte Energie $$W = 2\,J$$​​

Gesucht: Anzahl an parallel geschalteten Kondensatoren $$N_K$$

Lösung:

Berechne zunächst Gesamtkapazität, welche benötigt ist, um eine Energie von 2 Joule zu speichern. Stelle dazu die oben verwendete Formel nach der Kapazität um und setze die gegebenen Werte ein:

$$C = \dfrac{2\cdot W}{U^2} = \dfrac{2 \cdot 2\,J}{(120\,V)^2} = 0{,}00027\,F$$

Teile dann die Gesamtkapazität durch die Einzelkapazität, um herauszufinden, wie viele der Kondensatoren parallel geschaltet werden müssen:

$$N_K = \dfrac{C}{C_1} = \dfrac{0{,}00027\,F}{50\cdot 10^{-12}\,F} = 5555556 = \underline{5{,}6 \cdot 10^6}$$

Es müssten also ungefähr 5,6 Millionen solcher Kondensatoren parallel geschaltet werden. Das ist natürlich völlig unrealistisch.