Bewegungsgleichungen lösen

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​​Definition Bewegungsgleichung:

Eine Bewegungsgleichung beschreibt die räumliche und zeitliche Entwicklung eines mechanischen Systems. Dabei wird meist die Beschleunigung als Funktion der äusserlich einwirkenden Kräfte beschrieben, gemäss:

​$$a = \dfrac{F_{\mathrm{ausserhalb}}}{m}$$

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Bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung ($$F_{\mathrm{ausserhalb}} = \mathrm{konstant}$$​) ergeben sich dann Geschwindigkeit $$v$$ und Position $$s$$ gemäss:

​$$v = a \cdot t\\s = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$$.

Ganz allgemein wird eine Bewegungsgleichung in drei Dimensionen angegeben und mit Vektoren dargestellt:

​$$\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m}$$​

Diese allgemeine Bewegungsgleichung wird auch als Newtonsche Bewegungsgleichung bezeichnet.

Hinweis:

Kraft und Beschleunigung sind vektorielle Grössen, d. h. sie besitzen nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung. Das muss bei der Verwendung der Bewegungsgleichung beachtet werden.

Beispiel 1:

Eine Metallkugel (Masse m = 50 g) wird auf eine Sprungfeder fallen gelassen. Als die Kugel beim Zusammendrücken der Feder zur Ruhe kommt, wirkt die Feder mit ihrer Spannkraft von 5 N auf die Kugel. Wie gross ist die Beschleunigung, die die Kugel nur durch die Feder erfährt? Wie gross ist die gesamte Beschleunigung an diesem Punkt?

Gegeben: Masse $$m = 50\,g = 0{,}05\,kg$$, Spannkraft $$F_{Feder} = 5\,N$$

Gesucht: Beschleunigung Feder $$a_{Feder}$$, Gesamtbeschleunigung $$a_{gesamt}$$

Lösung: 

Berechne zunächst mit den gegebenen Werten und der Newtonschen Bewegungsgleichung die Beschleunigung, die die Kugel durch die Feder erfährt:

$$a_{\mathrm{Feder}} = \dfrac{F_{\mathrm{Feder}}}{m} = \dfrac{5\,\mathrm{N}}{0{,}05\,\mathrm{kg}} = 100\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$$

Berechne dann die Beschleunigung, die die Kugel durch die Gewichtskraft erfährt und addiere diese zur Beschleunigung $$a_{Feder}$$:

$$\\a_{\mathrm{gesamt}} = a_{\mathrm{Feder}} + a_{g} = 100 -9{,}81 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}} = 90{,}19 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$$​​

Beispiel 2:

Ein Flugzeug (Masse m = 500 t) hat sechs Turbinentriebwerke, die jeweils eine Schubkraft von 300 kN erzeugen können. Wie gross ist die Beschleunigung, die das Flugzeug erreichen kann? Wenn es bei einer Geschwindigkeit von 260 km/h abheben kann, wie lang, muss die Startbahn mindestens sein, damit es sicher abheben kann (addiere 300 m zu deinem Ergebnis dazu)?

Gegeben: Masse $$m = 500\,t = 500\,000\,kg$$, Schubkraft $$F_S = 300\,kN$$, Geschwindigkeit $$v = 260\frac{km}{h}$$

Gesucht: Beschleunigung $$a$$, Länge der Startbahn $$s$$

Lösung:

Berechne zunächst die maximale Beschleunigung. Es gibt sechs Turbinen, die Gesamtschubkraft $$F$$ ist also $$F = 6 \cdot F_S = 6 \cdot 300\,kN = 1800\,kN$$. Setze die Werte nun in die Newtonsche Bewegungsgleichung ein, um die Beschleunigung zu berechnen:

$$a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{1\,800\,000\,N}{500\,000\,kg} = 3{,}6\,\frac{m}{s^2}$$

Berechne dann, wie lange es dauert, um mit dieser Beschleunigung von 0 km/h auf 260 km/h zu beschleunigen. Stelle dazu die oben gegebene Gleichung nach der Zeit $$t$$ um, rechne die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde um und setze die Werte für Geschwindigkeit und Beschleunigung in die Gleichung ein:

$$v = a \cdot t \Leftrightarrow t = \dfrac{v}{a}$$

​$$v = 260\,\frac{km}{h} = \dfrac{260}{3{,}6} \frac{m}{s} = 72{,}2 \frac{m}{s}$$

$$t = \dfrac{v}{a} = \dfrac{72{,}2\frac{m}{s}}{3{,}6\frac{m}{s^2}} = 20{,}1\,s$$

Das Flugzeug braucht 21,1 Sekunden, um die benötigte Geschwindigkeit zu erreichen. Setze diesen Wert zusammen mit der Beschleunigung nun in die zweite Bewegungsgleichung ein, um die Strecke zu berechnen, die benötigt wird:​​

$$s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot 3{,}6 \,\frac{m}{s^2} \cdot (20{,}1\,s)^2 = 727{,}22\,m$$

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Um sicher abheben zu können, musst du noch 300 Meter dazu addieren, die Startbahn müsste also ca. 1000 Meter lang sein, bzw. einen Kilometer lang.