Waagrechter Wurf und schiefer Wurf

Waagrechter Wurf

Wenn eine Kugel über eine Tischkante rollt, dann fällt sie zu Boden, bewegt sich aber gleichzeitig auch noch in die Richtung, in die sie zuvor gerollt ist. Wirft ein Frachtflugzeug eine Lebensmittellieferung aus dem Flug ab, dann muss das Flugzeug die Lieferung vor dem Abwurfpunkt hinauswerfen, damit dann die Lieferung am richtigen Ort ankommt. Spritzt Wasser aus einem waagrecht gehaltenen Schlauch, dann können die Blumen aus einiger Entfernung gegossen werden. Dies alles sind Beispiele für einen sogenannten waagrechten Wurf.
Aus physikalischer Sicht ist ein waagrechter Wurf eine Überlagerung von zwei Bewegungen. Das bedeutet, dass Bewegungen in zwei verschiedene Richtungen gleichzeitig ausgeführt werden und so eine gemeinsame Bewegung des Objekts ergeben. Bei geeigneter Wahl eines Koordinatensystems bewegt sich das Objekt sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung. Wird beispielsweise bei der rollenden Kugel die Tischkante als Koordinatenursprung verwendet, dann sieht die Bewegung von der Seite aus wie in der folgenden Abbildung.

In x-Richtung bewegt sich die Kugel dabei mit konstanter Geschwindigkeit $$v_0$$​. Somit ist die Ortsfunktion in x-Richtung gegeben durch $$s_x(t) = v_0 \cdot t$$. In y-Richtung erfährt die Kugel einen freien Fall. Somit ist die Ortsfunktion in y-Richtung gegeben durch $$s_y(t) = - \frac{1}{2}gt^2$$. Auflösen der beiden Ortsfunktionen nach $$t$$ und Gleichsetzen ergibt schliesslich $$s_y = - \frac{g}{2v_0^2}\cdot s_x^2$$.

Die y-Koordinate des Ortes ist eine quadratische Funktion in Abhängigkeit der x-Koordinate. Also entspricht die Flugbahn mit vernachlässigtem Luftwiderstand einer Parabel. Die Geschwindigkeit des Objekts ist dabei gegeben durch:

$$v(t) = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + g^2 \cdot t^2}$$.

Die Wurfzeit in Abhängigkeit von der Höhe $$h$$, bis die Kugel auf den Boden auftrifft, ist gegeben durch:

​$$t_w = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$​​

Schlussendlich ist die Wurfweite gegeben durch:

​$$s_w = s_x(t_w) = v_0 \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}$$​​

Schiefer Wurf

Eine Erweiterung des waagrechten Wurfs ist der sogenannte schiefe Wurf. Beispiele für den schiefen Wurf sind Kugelstossen, Speerwerfen, Weitsprung oder Diskuswerfen. Der Unterschied zum waagrechten Wurf liegt darin, dass die Anfangsgeschwindigkeit $$v_0$$ nicht in x-Richtung gerichtet sein muss, sondern dass sie schräg nach oben gerichtet ist. In Abhängigkeit des Wurfwinkels und der Anfangsgeschwindigkeit lassen sich dann die Anfangsgeschwindigkeiten in x- und in y-Richtung berechnen. Diese sind gegeben durch:

​$$v_{0x} = v_0 \cdot \mathrm{cos}\ \alpha \quad \mathrm{und} \quad v_{0y} = v_0 \cdot \mathrm{sin}\ \alpha$$​​

Für die Ortsfunktion in x-Richtung gilt dann wiederum, dass $$s_x(t) = v_{0x} \cdot t$$. Für die Ortsfunktion in y-Richtung gilt, dass $$s_y(t) = v_{0t} \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$. Auflösen nach $$t$$ und Gleichsetzen dieser beiden Ortsfunktionen liefert $$s_y = - \frac{1}{2}\frac{g}{v_{0x}^2}s^2_x + \frac{v_{0y}}{v_{0x}}s_x$$. Unter Verwendung des Wurfwinkels α und der Anfangsgeschwindigkeit $$v_0$$ erhalten wir schliesslich $$s_y = - \frac{1}{2}\frac{g}{v_{0x}^2 \cdot \mathrm{cos}^2\ \alpha}s^2_x + \mathrm{tan}\ \alpha \cdot s_x$$. Dies beschreibt die Wurfparabel ohne Luftwiderstand. Für die Wurfzeit muss gelten, dass $$s_y(t_w) = 0$$​​.

Daraus erhalten wir für die Wurfzeit:

​$$t_w = 2\cdot \frac{v_{0y}}{g}$$​​

Daraus können wir schlussendlich die Wurfweite in x-Richtung berechnen. Diese ist gegeben durch:

​$$s_w = s_x(t) = \frac{2\cdot v_{0x}\cdot v_{0y}}{g} = \frac{2v_0^2 \cdot \mathrm{cos}\ \alpha \cdot \mathrm{sin}\ \alpha}{g} = \frac{v_0^2 \cdot \mathrm{sin}\ (2\alpha)}{g}$$​​

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