Transformator: Funktion und Formeln

Ein Transformator dient dazu, Spannungen und Ströme umzuwandeln. Dazu verwendet man die elektromagnetische Induktion. Wenn ein Strom durch eine Spule fliesst, wird ein Magnetfeld erzeugt. Wenn nun der Strom periodisch die Richtung wechselt, ändert sich auch laufend das Magnetfeld und kann daher in einer weiteren Spule einen Strom induzieren. Die von der Wechselspannung angetriebene Spule nennt man Primärspule und die Spule, in der eine Spannung induziert wird, nennt man Sekundärspule.

Wenn man den Stromkreis unterbricht, kann kein Strom fliessen.  Es wird aber trotzdem eine Spannung induziert. Man kann sich vorstellen, dass die Elektronen ganz leicht hin und her schaukeln und daher eine unausgeglichene Ladungsverteilung erzeugen, was eine Wechselspannung zur Folge hat. In diesem Fall wird die Spannung nach folgendem Gesetz umgewandelt:

​$$\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{N_2}{N_1}$$​​

Lässt man hingegen einen Strom fliessen, wird die Stromstärke umgewandelt:

​$$\dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{N_2}{N_1}$$

In diesem Fall gilt das obere Induktionsgesetz nicht mehr.

​Hinweis: Wie du anhand der Gleichungen erkennen kannst, werden die beiden Grössen umgekehrt transformiert.

Gleichgewicht des magnetischen Flusses und Leistungsübertragung

Um eine möglichst effiziente Übertragung zu erreichen, versucht man das Magnetfeld in einem Eisenkern zu kanalisieren. Im Idealfall befindet sich das magnetische Feld ausschliesslich im Eisenkern und es hat daher in jedem Querschnitt des Eisenkerns den gleichen magnetischen Fluss.

$$\Phi_1 = \vec{A}_1\cdot \vec{B}_1 = \vec{A}_2\cdot\vec{B}_2 = \Phi_2$$

Die Änderung des Flusses ist daher auch gleich. Da die Induktionsspannung aber mit mehreren Schlaufen kumuliert, führt die unterschiedliche Anzahl an Windungen in den beiden Spulen dann zu einer Umwandlung der Spannung:

$$\dot{\Phi}_1 = \dfrac{U_1}{N_1} = \dfrac{U_2}{N_2} = \dot{\Phi}_2$$

Durch Umformen erhalten wir daraus die erste Transformationsformel.

Hinweis: $$\Phi_1$$ ist der Fluss in einem Querschnitt in der Primärspule und nicht der über die Windungen summierte Fluss, dessen Änderung $$\dot{\Phi}_1$$ der Spannung $$U_1$$ entspricht. Daher musst du durch die Windungszahl $$N_1$$ dividieren, um $$\dot{\Phi}_1$$ zu erhalten. Das Gleiche gilt für die Sekundärspule.

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Wenn der Stromkreis geschlossen wird, fliesst ein Strom und es wird Leistung von der Primär auf die Sekundärspule übertragen. Da Energie eine Erhaltungsgrösse ist, muss in gleicher Rate Energie in die Sekundärspule fliessen, wie aus der Primärspule weg fliesst. Die Rate eines Energieflusses bezeichnet man als Leistung $$P$$​ und hängt über folgende Gleichung mit der Stromstärke $$I$$​ und der Spannung $$U$$ zusammen: $$P = U\cdot I$$. Du kannst diese Zusammenhänge nutzen, um die zweite Transformationsformel herzuleiten.

​$$P_1 = U_1\cdot I_1 = U_2\cdot I_2 = P_2$$  und daher erhältst du  $$\dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{N_2}{N_1}$$​

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Realer Transformator

In der Praxis ist es nicht möglich, das ganze Magnetfeld im Eisenkern einzuschliessen und ein Teil der Leistung geht durch Reibung verloren. Es treten folgende Verluste auf, denen man durch Optimierung des Aufbaus entgegenwirkt:

• Reibung durch Widerstand des Kupferdrahtes -> grössere Querschnitte
• Reibung von Wirbelströmen im Eisenkern -> Trennschichten
• Der Kern wird durch das ändernde Magnetfeld ständig ummagnetisiert -> Material, das sich leicht ummagnetisieren lässt (weichmagnetisch)
• Nicht alle Feldlinien verlaufen durch den Kern -> Optimierung von Form und Material

Trotzdem kommt man auf Wirkungsgrade über $$90\ \%$$ und die obige Beschreibung ist daher nicht allzu weit weg von der Realität.

Bemerkung: Wenn man von einem Leistungsverlust durch Reibung spricht, meint man nicht, dass Energie verloren geht, sondern dass ein Teil der Energie in Wärme umgewandelt wird, was man so gering wie möglich halten möchte.

Beispiel

Du möchtest die Spannung aus der Steckdose auf $$12\ V$$ ​heruntertransformieren. Wenn deine Sekundärspule 60 Windungen hat, wie viele Windungen muss dann die Primärspule haben?

Gegeben: $$U_1 = 230\ V, \ U_2 = 12\ V, \ N_2 = 60$$​​

Gesucht: $$N_1$$​​

Kehre die Brüche auf beiden Seiten der Gleichung um:

$$\dfrac{N_1}{N_2} = \dfrac{U_1}{U_2}$$​​

Nun kannst du auf beiden Seiten mit $$N_2$$​ multiplizieren und die Zahlen einsetzen:

​$$N_1 = N_2\cdot\dfrac{U_1}{U_2} = 60\cdot\dfrac{230\ V}{12\ V} = \dfrac{60}{12}\cdot230 = 5\cdot230 = \underline{1150}$$​​