Ideales Gas, Zustandsgleichung & Gesetz von Avogadro

Ideales Gas

Das ideale Gas ist ein Modell, mit dem sich viele grundlegende thermodynamische Prozesse erklären lassen. 

Annahmen

• Im Idealen Gas-Modell  geht man davon aus, dass ein Druck von $$1 \ \text{bar}$$ vorherrscht, was dem Normaldruck in der Luft entspricht. Hierbei gilt $$1 \ \text{bar}=1 \ 000 \ \text{hPa}=1 \cdot 10^5 \ \text{Pa}$$. 
• Eine weitere Annahme im Idealen Gas-Modell ist, dass die Atome und Moleküle, aus welchen das Gas besteht, als punktförmig angenommen werden. 

Diese Annahme ist gerechtfertigt, da das Eigenvolumen der Teilchen verglichen mit dem Gesamtvolumen des Gases vernachlässigbar klein ist. Dadurch, dass man die Teilchen als punktförmig betrachtet, kann man auch unelastische Wechselwirkungen bei Stössen zwischen den Teilchen vernachlässigen. Die einzigen Wechselwirkungen, welche in diesem Modell stattfinden, sind vollständig elastische Stösse der Teilchen miteinander oder zwischen den Teilchen und den Gefässwänden.

• Es wird angenommen, dass die Teilchen alle dieselbe Masse $$m$$ haben und sich mit verschiedenen Geschwindigkeiten $$v$$ in zufällige Richtungen bewegen. Bei steigenden Temperaturen nimmt die Durchschnittsgeschwindigkeit der Teilchen zu. Dennoch gibt es immer auch etwas langsamere Teilchen und etwas schnellere.

Zur Charakterisierung eines idealen Gases ist die Kenntnis über drei physikalische Grössen, welche auch als Zustandsgrössen bezeichnet werden. ausreichend: Die Temperatur $$T$$, das Volumen $$V$$ und der Druck $$p$$. Dabei kommt es nicht auf die Art des Gases an und auch auf keine weiteren physikalischen oder chemischen Eigenschaften.

Hinweis: In der Thermodynamik wird die Temperatur in der Kelvinskala angegeben. Zur Erinnerung: Es gilt $$0 \ K= -273{,}15°C$$ und ein Temperaturanstieg um $$1 \ K$$ ist gleichbedeutend mit einem Temperaturanstieg um $$1°C$$- die beiden Temperaturskalen sind also lediglich gegeneinander verschoben.​

Das Ideale Gas-Modell ist nur anwendbar für Gase, welche nicht unter hohem Druck stehen. Für Gase, die aus sehr grossen Molekülen bestehen, ist das Modell nicht anwendbar.

Ein grosser Vorteil am Idealen Gas-Modell ist, dass solche Gase mithilfe der idealen Gasgleichung beschrieben werden können. 

Ideale Gasgleichung

Die Ideale Gasgleichung gibt einen Zusammenhang zwischen den physikalischen Grössen Temperatur $$T$$ (in $$K$$), Druck $$p$$ (in $$\text{Pa}$$), dem Volumen $$V$$ (in $$m^3$$), sowie der Stoffmenge $$n$$ (in $$\text{mol}$$).

Das Ideale Gasgesetz lautet:

​$$p\cdot V=n\cdot R\cdot T$$​​

$$R$$​  bezeichnet hier die universelle Gaskonstante. Diese ist für alle Gase gleich und hat den Wert $$R=8{,}314 \ \frac{J}{\text{mol}\cdot K}$$. 

Für diese Konstante gibt es eine weitere Relation: $$R=N_A\cdot k_B$$.

$$N_A$$ ist die Avogadro-Konstante, welche die Teilchenanzahl in einem Mol eines Stoffes angibt. Sie hat den Wert $$N_A=6{,}022\cdot 10^{23} \ mol^{-1}$$. $$k_B$$ ist die Boltzmann-Konstante, welche unter anderem dazu verwendet wird, die thermische Energie eines Stoffes zu berechnen. Sie hat den Wert $$k_B=1{,}381\times10^{-23} \ J\cdot K^{-1}$$. 

Mithilfe dieser Konstanten kann man das Ideale Gasgesetz auch wie folgt schreiben:

​$$p\cdot V=n\cdot N_A\cdot k_B\cdot T= N\cdot k_B\cdot T$$​​

Weil $$n\cdot N_A=N$$ gilt, wobei $$N$$ die Teilchenanzahl der Stoffmenge angibt. Für die Einheit vom Druck gilt folgende Relation: $$1 \ \text{Pa}=1 \ \frac{N}{m^2}=1 \ \frac{kg}{m\cdot s^2}$$​ .

In manchen Situationen ist es sinnvoll, eine einfacherer Version das idealen Gasgesetzes zu nutzen:

​$$\frac{p\cdot V}{T}=\text{konstant}$$​​

Beispiel 1:

Welche Temperatur haben $$120 \ mol$$​ eines (idealen) Gases, welches einen Druck von $$3 \ kPa$$ hat und dabei ein Volumen von $$100 \ m^3$$ einnimmt? 

Um dies zu berechnen, wird die Ideale Gasgleichung nach der Temperatur umgestellt: 

$$\begin{aligned}p\cdot V&=n\cdot R\cdot T \qquad |\div(n\cdot R)\\\frac{p\cdot V}{n\cdot R}&=T\end{aligned}$$​​

Nun werden die gegebenen Werte eingesetzt:

$$T=\frac{p\cdot V}{n\cdot R}=\frac{3 \ 000 \ Pa \cdot 100 \ m^3}{120 \ mol \cdot 8{,}314 \frac{J}{K\dot mol}}=300{,}7 \ K=27{,}5°C$$​​

Dieses Gas hat eine Temperatur von $$27{,}5°C$$.​

Beispiel 2:

Die Luft in einem Autoreifen hat zunächst die Temperatur von $$10°C$$ bei einem Reifendruck von $$2{,}5 \ \text{bar}$$. Das Auto fährt nun eine Strecke. Dabei erwärmt sich die Luft in den Reifen auf $$70°C$$, während das Volumen des Reifens konstant bleibt. Welcher Druck herrscht nun in den Reifen?

Für diese Aufgabe empfiehlt es sich,  die einfachere Version der Idealen Gasgleichung zu verwenden: 

$$\frac{p\cdot V}{T}=\text{konstant} \rightarrow \frac{p_1\cdot V_1}{T_1}=\frac{p_2\cdot V_2}{T_2}$$​​

Da nun aber $$V_1=V_2$$ gilt, kann man dieses aus der Gleichung wegkürzen. Anschliessend stellt man die Gleichung nach der gewünschten Grösse um:

$$\begin{aligned}\frac{p_1\cdot V_1}{T_1}&=\frac{p_2\cdot V_1}{T_2} \qquad \ \ |\div V_1 \\\frac{p_1}{T_1}&=\frac{p_2}{T_2} \qquad \qquad |\cdot T_2\\\frac{p_1\cdot T_2}{T_1}&=p_2\end{aligned}$$​​

Nun werden die gegebenen Werte in die Gleichung eingesetzt:

$$\underline{p_2}=\frac{T_2\cdot p_1}{T_1}=\frac{343{,}15 \ K\cdot 2,5 \ \text{bar}}{283{,}15 \ K}=\underline{3{,}0 \ \text{bar}}$$​​

​​​

Der Reifendruck beträgt nun also $$3 \ \text{bar}$$.​

Gesetz von Avogadro

Eine Folgerung aus der idealen Gasgleichung ist, dass für unterschiedliche ideale Gase die Stoffmenge und damit die Teilchenanzahl $$N$$ stets gleich gross sind, wenn Temperatur, Volumen und Druck übereinstimmen. Diese Aussage wird auch als Gesetz von Avogadro bezeichnet. 

Aus dem Gesetz folgt, dass bei Zimmertemperatur und Normaldruck in einem Liter Helium genauso viele Teilchen enthalten sind, wie in einem Liter Luft oder Neon.

Unter Normbedingungen, also $$p_{\text{norm}}=1 \ 013{,}25 \ hPa \approx 1 \ bar$$ und $$T_{\text{norm}}=273{,}15\ K$$, nimmt ein ideales Gas stets das Molvolumen $$V=22{,}4 \ l$$ ein. 

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Zustandsgleichung und Zustandsgrössen

Wie kommen eigentlich die makroskopischen, also auf grosser Skala bestehenden, physikalischen Grössen wie Druck und Temperatur zustande? Auf diese Frage kann man mithilfe des Idealen Gas-Modells eine Antwort geben. Allgemein besteht zwischen den makroskopischen physikalischen Grössen und den mikroskopischen Vorgängen im Gas, wie Teilchenbewegung und Stösse unter den Teilchen ein Zusammenhang. 

Gasdruck

Der Gasdruck entsteht durch die Zusammenstösse der Teilchen miteinander und durch die Stösse gegen die Gefässwände. Das bedeutet, dass die Impulsänderung der Teilchen beim Stoss nach dem 2. Newtonschen Axiom einer Krafteinwirkung entspricht, welche einen Druck bewirkt. Rechnerisch kann man dies wie folgt ausdrücken:

​$$p=\frac{1}{3}\frac{N}{V}\cdot m\cdot \overline{v^2}=\frac{2}{3}\frac{N}{V}\cdot \overline{E_{\text{kin}}}$$​​

Hierbei bezeichnet $$\overline{v^2}$$ das mittlere Geschwindigkeitsquadrat und $$\overline{E_{\text{kin}}}$$ die mittlere kinetische Energie der Teilchen.​

Nutzt man dann die Ideale Gasgleichung, so ergibt sich ein Zusammenhang zwischen der Temperatur und der mittleren kinetischen Energie der Teilchen:

​$$T=\frac{2}{3}\frac{ \overline{E_{\text{kin}}}}{k_B}$$​​

Aus dieser Gleichung kann man schliessen, dass die Temperatur ein Mass für die mittlere kinetische Energie der Gasteilchen und damit auch für die thermische Energie eines Gases ist.

Innere Energie

Die Teilchen sind so klein, dass die Erdanziehung auf ihre Gesamtenergie einen viel geringeren Einfluss hat als ihre Bewegungsenergie und daher vernachlässigt werden kann. 

So setzt sich die gesamte Innere Energie eines Gases ausschliesslich aus den kinetischen Energien der $$N$$ Teilchen zusammen, aus welchen das Gas besteht:

$$U=N\cdot \overline{E_{\text{kin}}}=N\cdot \frac{3}{2} k_BT=n\cdot \frac{3}{2}R\cdot T$$​​

Hinweis: Der Vorfaktor ​$$\frac{3}{2}$$ ist auf die Anzahl der Freiheitsgrade in einem Gas zurückzuführen. Ein Gas, welches aus einzelnen Atomen besteht hat drei Freiheitsgrade- einen für jede Raumrichtung. Pro Freiheitsgrad kommen zur inneren Energie $$\frac{1}{2}Nk_BT$$ dazu. Wenn die Moleküle aus Molekülen bestehen, kommen weitere Freiheitsgrade hinzu, beispielsweise für Rotationen oder für Vibrationen (die Atome schwingen gegeneinander hin und her). ​

Weitere Zustandsgrössen​​

Im Folgenden wird von $$N$$ punktförmigen Teilchen ausgegangen, welche sich in einer würfelförmigen Box mit Kantenlänge $$L$$ befinden. Wenn ein Teilchen auf die Gefässwand trifft, so ist dessen Impulsübertrag $$\Delta p$$. Hierbei bezeichnet $$v_w$$ den Betrag der senkrecht zur Wandfläche orientierten Geschwindigkeitskomponente. Die Indexzahlen "nummerieren" die einzelnen Teilchen.

Das $$\overline{v^2}$$ gibt die Durchschnittsgeschwindigkeit an. Der Faktor $$\frac{1}{3}$$ entsteht dadurch, dass alle drei Raumrichtungen gleich wahrscheinlich sind.​