Harmonische Schwingungen: Beschreibung und Formeln

Eine Schwingung ist ein sich zeitlich wiederholender Vorgang. Das heisst, dass nach einer gewissen Zeit eine charakteristische Grösse wieder gleich ist.

Eine Schwingung heisst harmonisch, wenn sie sich durch eine Sinus-Funktion beschreiben lässt.

Beispiel

Denke beispielsweise an ein Pendel: wenn Du es auslenkst, schwingt es um seine Ruhelage. Andere Beispiele für harmonische Schwingungen sind Metronome, Gitarrensaiten oder Quarzkristalle in digitalen Uhren.

Wichtige Begriffe

Die Ruhelage $$y_0$$​ bezeichnet die Position eines schwingenden Körpers, in der er sich befindet, wenn er in Ruhe ist. Ein Pendel, das in Ruhe ist, hängt einfach gerade runter. In unteren Bild ist das also Position 3 des Pendels.

Die Amplitude $$y_\text{max}$$​ gibt an, was die maximale Auslenkung aus der Ruhelage ist. Ist die Amplitude erreicht, schwingt das Pendel zurück in die andere Richtung. In dem obigen Bild sind das also Positionen 1 und 5.

Die Periodendauer $$T$$ ist die Zeit, die vergeht bis sich eine Schwingung wiederholt, also bis das Pendel wieder am gleichen Ort ist. Im obigen Bild ist das also die Zeit, die vergeht, bis das Pendel von Position 1 wieder bei Position 1 angelangt ist.

Mathematische Beschreibung

Um einen sich wiederholenden Vorgang wie eine harmonische Schwingung zu beschreiben, bieten sich mathematische Funktionen wie der Sinus oder Kosinus an. Die Auslenkung $$y$$​ ist dann eine Grösse, die sich als Funktion der Zeit $$t$$​ wiederholt:

​$$y(t) = y_\text{max} \cdot \sin(\omega \cdot t +\varphi_0)$$

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Der Phasenwinkel $$\varphi_0$$ beschreibt, in welcher Position die Schwingung startet. Ist $$\varphi_0 = 0$$​, so startet die Schwingung in Position 3 im obigen Bild. Ist $$\varphi_0 = \pi/2 = 90^\circ$$​, so fängt die Schwingung bei Position 5 an, also bei der maximalen Auslenkung.

Die Kreisfrequenz $$\omega = \frac{2\pi}{T}$$ gibt an, wie schnell sich die Schwingung wiederholt. Du kannst also die Formel auch schreiben als:

​$$y(t) = y_\text{max} \cdot \sin\left(\dfrac{2\pi}{T} \cdot t +\varphi_0\right)$$​​

Beispiel

Ist genau eine Periode vergangen, also $$t = T$$, so ist die Schwingung im gleichen Zustand wie beim Beginn der Schwingung, also $$t = 0$$. Mathematisch siehst Du das wie folgt:

Zuerst rechnest Du die Amplitude zum Zeitpunkt $$t=0$$ aus. Dazu musst Du nur Null für $$t$$ einsetzen:

$$y(t=0)= y_\text{max} \cdot \sin\left(\dfrac{2\pi}{T} \cdot 0 +\varphi_0\right) = y_\text{max} \cdot \sin\left(\varphi_0\right)$$

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Dann machst Du das Gleiche, nachdem eine Periode vergangen ist, also $$t = T$$

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$$y(t=T)= y_\text{max} \cdot \sin\left(\dfrac{2\pi}{T} \cdot T +\varphi_0\right) = y_\text{max} \cdot \sin\left(2\pi + \varphi_0\right)$$

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Der Sinus wiederholt sich aber gerade nach $$2\pi$$​, oder anders formuliert

$$\sin(2\pi + \varphi_0) = \sin(\varphi_0)$$.

Damit kannst Du die Gleichung noch weiter vereinfachen und siehst, dass beide Ausdrücke gleich sind: 

​$$y(t=T)= y_\text{max} \cdot \sin\left(2\pi + \varphi_0\right) = y_\text{max} \cdot \sin(\varphi_0) = y(t=0)$$

Die Schwingung wiederholt sich also.