Berechnung von Dichte, Masse und Volumen

Definition

Hast Du dich schonmal gefragt, woran es liegt, dass einige Körper im Wasser schwimmen, aber andere nicht? Dieses Phänomen hängt vor allem von der Dichte ab. 

Die Dichte ist eine physikalische Grösse, welche angibt, wie das Verhältnis zwischen Masse und Ausdehnung, also dem Volumen, eines Körpers ist. 

Die Dichte hat das Formelzeichen $$\rho$$ (Sprich: "Rho"). Sie ist wie folgt definiert: 

$$\rho=\frac{m}{V}$$​​

Die Dichte beschreibt also den Quotienten aus Masse (meist in $$kg$$) und Volumen (meist in $$m^3$$).  Sie hat (meistens) die Einheit $$\frac{kg}{m^3}$$. Ausserdem ist die Dichte eine materialspezifische Grösse. Im nachfolgenden Beispiel soll die Dichte von einem Eisenblock berechnet werden. Das Ergebnis gilt dabei nicht nur für diesen einen Block, sondern für Eisen im Allgemeinen.

Beispiel:

Ein Eisenblock, welcher ein Volumen von $$0{,}5 \ m^3$$ einnimmt, wiegt $$3 \ 937 \ kg$$. Wie gross ist seine Dichte?

Dazu verwenden wir die obenstehende Formel. Die beiden gegebenen Werte müssen nur noch eingesetzt werden:

​$$\underline{\rho}=\frac{m}{V}=\frac{3 \ 937 \ kg}{0{,}5 \ m^3 }=\underline{7\ 874 \frac{kg}{m^3}}$$​​

Die Dichte von Eisen beträgt also $$7\ 874 \ \frac{kg}{m^3}$$. 

Berechnung der Masse

Man kann die obige Formel auch dazu benutzen, um die Masse zu berechnen, wenn man das Volumen und die Dichte eines Körpers kennt. Dazu muss man die Formel umstellen. Wenn man eine Formel umstellen will, dann ist es wichtig, dass man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens mit derselben Variablen multipliziert (oder je nach Aufgabe dividiert, bzw. auf beiden Seiten dasselbe addiert oder subtrahiert). 

Berechnung des Volumens

Ebenso kann man die Formel oben verwenden, um das Volumen eines Körpers zu berechnen, wenn man dessen Masse und Dichte kennt. Dazu stellt man die Formel erneut um. Hierbei sind zwei Schritte nötig:

Einheitenbetrachtung

Für die verschiedenen möglichen Einheiten gelten die folgenden Relationen. Zur Erinnerung: $$1 \ l= 1 \ {dm}^3$$.

$$\begin{aligned}1 \ \frac{kg}{l}&=1 \ \frac{g}{m^3}= 0{,}001 \ \frac{kg}{m^3}= 1 \cdot 10^6 \ \frac{g}{cm^3}= 1 \ 000 \ \frac{g}{l}\\1 \ \frac{kg}{m^3}&=1 \ 000 \frac{g}{m^3}=1 \cdot 10^9 \ \frac{g}{cm^3}=1\cdot 10^6 \ \frac{g}{l}=1 \ 000 \ \frac{kg}{l}\end{aligned}$$​​

Schwimmende Körper

Doch nun zurück zur Eingangsfrage: Wann schwimmt ein Körper? Und was hat das nun mit der Dichte zu tun? 

Die Dichte von Wasser hat den Wert $$1 \ \frac{g}{cm^3}$$. Alle Festkörper, deren Dichte grösser ist, als die Dichte von Wasser, gehen im Wasser unter. Alle Festkörper, deren Dichte kleiner ist, als die von Wasser, können im Wasser schwimmen.​

Beispiele:

Ein Würfel aus Kiefernholz hat eine Masse von $$31{,}36 \ g$$ und eine Kantenlänge von $$4 \ cm$$. Schwimmt er im Wasser?

Dazu wird die Dichte des Würfels berechnet. Bevor dies möglich ist, wird allerdings noch das Volumen des Würfels benötigt. Dieses erhält man aus der Kantenlänge des Würfels:

$$V=a^3=(4 \ cm)^3=64 \ cm^3$$​​

Nun kann daraus die Dichte berechnet werden:

$$\underline{\rho}=\frac{m}{V}=\frac{31{,}36 \ g}{64 \ cm^3}=\underline{0{,}49 \ \frac{g}{cm^3}}$$​​

Diese wird nun mit der Dichte von Wasser verglichen:

$$0{,}49 \ \frac{g}{cm^3}<1 \ \frac{g}{cm^3}$$​​

Der Kiefernholzblock schwimmt also in Wasser.

Eine Glasfigur der Masse $$1{,}25 \ kg$$ nimmt ein Volumen von $$500 \ cm^3$$ ein. Schwimmt sie im Wasser?

Ihre Dichte ist: 

​$$\underline{\rho}=\frac{m}{V}=\frac{1{,}25 \ kg}{500 \ cm^3}=\frac{1 \ 250 \ g}{500 \ cm^3}=\underline{2{,}5 \ \frac{g}{cm^3}}$$​​

Diese wird nun mit der Dichte von Wasser verglichen:

$$2{,}5 \ \frac{g}{cm^3}> 1 \ \frac{g}{cm^3}$$​​

Glas schwimmt also nicht im Wasser.

Hinweis: Es gibt Möglichkeiten, Körper zum Schwimmen zu bringen, wenn ihre Dichte dafür eigentlich zu gross ist. Das wird beispielsweise erreicht, in dem man Hohlräume (mit Luft darin) in den Körper einbaut. In manchen Fällen kann auch eine spezielle Form dabei helfen, einen Körper zum Schwimmen zu bringen. Letzteres wird bei grossen Frachtschiffen genutzt.

Beispielwerte

Der nachfolgenden Tabelle kann man die Dichten von verschiedenen Materialien, Flüssigkeiten und Gasen entnehmen.