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Unendlich tiefer eindimensionaler Potentialtopf


Wird ein Elektron im Rahmen eines Atoms betrachtet, wird offensichtlich, dass das Elektron kein freies Objekt ist, da es vom positiven Kern angezogen wird. Es hat somit einen beschränkten Aufenthaltsbereich. Ein einfaches, übergreifendes Modell für solche gebundenen Objekte bietet der eindimensionale, unendliche Potentialtopf.



Potentielle Energie und Potentialtopf

Potentialtopf: Ausgehend von einem Punkt P0\mathrm{P}_0P0​, bei dem die potentielle Energie gerade Null ist, steigt die EpotE_{pot}Epot​​ in alle Richtungen auf einen Maximalwert EmaxE_{max}Emax​ an (A-C). Ist nun ein Quantenobjekt, beispielsweise ein Elektron, in diesem Topf, dessen Energie geringer ist als die EmaxE_{max}Emax​, ist das Objekt in dem Potentialtopf gefangen.


Physik; Quantenphysik; 1. Gymi; Unendlich tiefer eindimensionaler Potentialtopf


Unendlicher Potentialtopf: Angenommen, dass die EmaxE_{max}Emax​ unbegrenzt anwächst und somit die Grenze, bei der Epot(x) von 0E_{pot}(x)\ \mathrm{von}\ 0Epot​(x) von 0​ auf EmaxE_{max}Emax​  ansteigt, unendlich schmal wird (D). Wenn dies der Fall ist, und das Ganze lediglich entlang einer Richtung betrachtet wird, wird vom eindimensionalen, unendlichen Potentialtopf gesprochen. 



Randbedingungen und Energiezustände

Randbedingungen:

Ein Quantenobjekt, das also ausserhalb des Potentialtopfs wäre, müsste eine unendlich grosse potentielle Energie haben, was jedoch unmöglich ist. Daher ist ihre Zustandsgleichung ausserhalb des Topfs Null. Dasselbe gilt für die Quantenobjekte am Rand des Potentialtopfs, dort ist die Zustandsgleichung ebenfalls Null. Das bedeutet, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Quantenobjekts ausserhalb und an den Rändern des Topfs gleich null ist, da das zu überwindende Potential unendlich gross und somit nicht überwindbar ist.


Bekanntlich kann ein Quantenobjekt als Teilchen, aber auch als Welle betrachtet werden. Im Folgenden wird das Objekt als Welle betrachtet, deren Zustandsgleichung an den Rändern Null sein muss, d. h. die Welle hat dort sogenannte Knoten. Eine Welle, die auf beiden Seiten einen solchen Knoten hat, wird bekanntlich als stehende Welle bezeichnet.
Physik; Quantenphysik; 1. Gymi; Unendlich tiefer eindimensionaler Potentialtopf



Energiewerte:

Um nun die Energiewerte zu bestimmen, wird in einem ersten Schritt die Formel für die Energie freier Objekte betrachtet:


​E=p22m=h2λ2⋅2mE = \frac{p^2}{2m} = \frac{h^2}{\lambda^2 \cdot 2m}E=2mp2​=λ2⋅2mh2​​​


Dabei wurde für den Impuls die Umformung der Wellenlänge nach de-Broglie verwendet: λ=hp → p=hλ\lambda = \frac{h}{p} \ \rightarrow \ p = \frac{h}{\lambda}λ=ph​ → p=λh​ (mit h:h:h:​ Planck'sches Wirkungsquantum).


Da es sich aber nicht um freie Objekte handelt, sondern um Objekte mit Zustandsfunktionen einer stehenden Welle, ist die Wellenlänge λ\lambdaλ​ der doppelte Abstand 2d2d2d​ zweier Knoten. Da bei der stehenden Welle an den Rändern je ein Knoten ist, kommen für d nur Werte, für die L=n⋅dL = n \cdot dL=n⋅d​ gilt, infrage. Dabei ist LLL die Länge des Potentialtopfs. Für die Energiewerte ergibt sich also Folgendes:


​En=n2⋅h28m⋅L2=n2⋅E1 mit E1=h28m⋅L2E_n = \frac{n^2 \cdot h^2}{8m \cdot L^2} = n^2 \cdot E_1 \ \mathrm{mit} \ E_1 = \frac{h^2}{8m \cdot L^2}En​=8m⋅L2n2⋅h2​=n2⋅E1​ mit E1​=8m⋅L2h2​​​


Im Grundzustand nimmt die Energie den kleinstmöglichen Wert E1E_1E1​​ an.


Beispiel

Wie gross ist der kleinstmögliche Energiewert eines Elektrons in einem Potentialtopf mit einer Länge von: 2,13⋅10−10 m2{,}13 \cdot 10^{-10}\ m2,13⋅10−10 m​

​

Gegeben: Länge des Potentialtopfs: L=2,13⋅10−10 mL = 2{,}13 \cdot 10^{-10}\ mL=2,13⋅10−10 m, Planck'sches Wirkungsquantum: h=6,626⋅10−34 J⋅sh = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\ J\cdot sh=6,626⋅10−34 J⋅s, Masse des Objekts (Masse Elektron): mE=9,109⋅10−31 kgm_E = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\ kgmE​=9,109⋅10−31 kg​


Gesucht: Energiewert des Grundzustands E1E_1E1​​


Lösung:

Um den kleinstmöglichen Energiewert zu bestimmen, müssen wir den Energiewert E1E_1E1​ berechnen. Wir verwenden dafür die obige Formel:


E1=h28m⋅L2=(6,626⋅10−34 J⋅s)28⋅9,109⋅10−31 kg⋅(2,13⋅10−10 m)2=1,328⋅10−18 J\begin{aligned}E_1 &= \frac{h^2}{8m \cdot L^2}\\ &= \frac{(6{,}626 \cdot 10^{-34}\ J\cdot s)^2}{8 \cdot 9{,}109 \cdot 10^{-31}\ kg \cdot(2{,}13 \cdot 10^{-10}\ m)^2}\\ &= 1{,}328 \cdot 10^{-18}\ J\end{aligned}E1​​=8m⋅L2h2​=8⋅9,109⋅10−31 kg⋅(2,13⋅10−10 m)2(6,626⋅10−34 J⋅s)2​=1,328⋅10−18 J​​​



Ergänzung

Ein Objekt im Topf ist örtlich lokalisiert und daher ist dessen Impuls ebenso wie die kinetische Energie in jedem Zustand um einen Mittelwert verteilt. Das ist so, aufgrund der Unbestimmtheitsrelation, auch Unschärferelation genannt, zwischen Ort und Impuls. Zudem wird die Wahrscheinlichkeit, dass die kinetische Energie hohe Werte annimmt, grösser, bei einem kleinen Potentialtopf, da die Energiewerte umso grösser sind, je kleiner LLL​ ist.



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was geschieht mit Quantenobjekten in einem Potentialtopf, deren Energie geringer ist als die maximale Energie?

Das Quantenobjekt kann die Energie nicht aufbringen, um die Seitenränder zu überwinden und ist daher im Potentialtopf gefangen.

Wie lässt sich die Zustandsgleichung eines Quantenobjekts im Potentialtopf am besten beschreiben?

Da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Rand des Topfs für das Objekt Null ist, ergibt sich für die Zustandsgleichung des Quantenobjekts eine stehende Welle

Wie wird der Zustand genannt, in der die Energie den kleinstmöglichen Wert annimmt?

Dieser Zustand wird der Grundzustand genannt.

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