Unendlich tiefer eindimensionaler Potentialtopf
Wird ein Elektron im Rahmen eines Atoms betrachtet, wird offensichtlich, dass das Elektron kein freies Objekt ist, da es vom positiven Kern angezogen wird. Es hat somit einen beschränkten Aufenthaltsbereich. Ein einfaches, übergreifendes Modell für solche gebundenen Objekte bietet der eindimensionale, unendliche Potentialtopf.
Potentielle Energie und Potentialtopf
Potentialtopf: Ausgehend von einem Punkt P0, bei dem die potentielle Energie gerade Null ist, steigt die Epot in alle Richtungen auf einen Maximalwert Emax an (A-C). Ist nun ein Quantenobjekt, beispielsweise ein Elektron, in diesem Topf, dessen Energie geringer ist als die Emax, ist das Objekt in dem Potentialtopf gefangen.
Unendlicher Potentialtopf: Angenommen, dass die Emax unbegrenzt anwächst und somit die Grenze, bei der Epot(x) von 0 auf Emax ansteigt, unendlich schmal wird (D). Wenn dies der Fall ist, und das Ganze lediglich entlang einer Richtung betrachtet wird, wird vom eindimensionalen, unendlichen Potentialtopf gesprochen.
Randbedingungen und Energiezustände
Randbedingungen:
Ein Quantenobjekt, das also ausserhalb des Potentialtopfs wäre, müsste eine unendlich grosse potentielle Energie haben, was jedoch unmöglich ist. Daher ist ihre Zustandsgleichung ausserhalb des Topfs Null. Dasselbe gilt für die Quantenobjekte am Rand des Potentialtopfs, dort ist die Zustandsgleichung ebenfalls Null. Das bedeutet, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Quantenobjekts ausserhalb und an den Rändern des Topfs gleich null ist, da das zu überwindende Potential unendlich gross und somit nicht überwindbar ist.
Bekanntlich kann ein Quantenobjekt als Teilchen, aber auch als Welle betrachtet werden. Im Folgenden wird das Objekt als Welle betrachtet, deren Zustandsgleichung an den Rändern Null sein muss, d. h. die Welle hat dort sogenannte Knoten. Eine Welle, die auf beiden Seiten einen solchen Knoten hat, wird bekanntlich als stehende Welle bezeichnet. | |
Energiewerte:
Um nun die Energiewerte zu bestimmen, wird in einem ersten Schritt die Formel für die Energie freier Objekte betrachtet:
E=2mp2=λ2⋅2mh2
Dabei wurde für den Impuls die Umformung der Wellenlänge nach de-Broglie verwendet: λ=ph → p=λh (mit h: Planck'sches Wirkungsquantum).
Da es sich aber nicht um freie Objekte handelt, sondern um Objekte mit Zustandsfunktionen einer stehenden Welle, ist die Wellenlänge λ der doppelte Abstand 2d zweier Knoten. Da bei der stehenden Welle an den Rändern je ein Knoten ist, kommen für d nur Werte, für die L=n⋅d gilt, infrage. Dabei ist L die Länge des Potentialtopfs. Für die Energiewerte ergibt sich also Folgendes:
En=8m⋅L2n2⋅h2=n2⋅E1 mit E1=8m⋅L2h2
Im Grundzustand nimmt die Energie den kleinstmöglichen Wert E1 an.
Beispiel
Wie gross ist der kleinstmögliche Energiewert eines Elektrons in einem Potentialtopf mit einer Länge von: 2,13⋅10−10 m
Gegeben: Länge des Potentialtopfs: L=2,13⋅10−10 m, Planck'sches Wirkungsquantum: h=6,626⋅10−34 J⋅s, Masse des Objekts (Masse Elektron): mE=9,109⋅10−31 kg
Gesucht: Energiewert des Grundzustands E1
Lösung:
Um den kleinstmöglichen Energiewert zu bestimmen, müssen wir den Energiewert E1 berechnen. Wir verwenden dafür die obige Formel:
E1=8m⋅L2h2=8⋅9,109⋅10−31 kg⋅(2,13⋅10−10 m)2(6,626⋅10−34 J⋅s)2=1,328⋅10−18 J
Ergänzung
Ein Objekt im Topf ist örtlich lokalisiert und daher ist dessen Impuls ebenso wie die kinetische Energie in jedem Zustand um einen Mittelwert verteilt. Das ist so, aufgrund der Unbestimmtheitsrelation, auch Unschärferelation genannt, zwischen Ort und Impuls. Zudem wird die Wahrscheinlichkeit, dass die kinetische Energie hohe Werte annimmt, grösser, bei einem kleinen Potentialtopf, da die Energiewerte umso grösser sind, je kleiner L ist.