Elektromagnetische Induktion und Induktionsgesetz

Bei einem sich ändernden Magnetfeld wird ein elektrisches Wirbelfeld erzeugt, das Elektronen in einem Draht bewegen und damit einen elektrischen Strom in einer Schleife erzeugen kann. Der Effekt tritt auf, wenn das Magnetfeld seine Richtung oder Stärke ändert.

Eine Änderung des Magnetfeldes kann herbeigeführt werden, indem man

• den Strom in der Spule ändert, die das Magnetfeld erzeugt,
• einen Eisenkern einführt,
• die Drahtschleife relativ zum Magnet bewegt,
• oder den Winkel der Drahtschleife zum Magneten ändert.

Magnetischer Fluss

Der magnetische Fluss durch eine Schleife ist ein Mass dafür, wie viel Magnetfeld durch die Schleife fliesst. Man kann sich das durch die Anzahl der Feldlinien durch die Schleife veranschaulichen. Berechnet wird der magnetische Fluss $$\Phi$$​, indem man die durch die Schleife eingeschlossene Fläche $$A$$​ mit dem darauf orthogonalen Teil des Magnetfeldes $$B_\perp$$​ multipliziert.

​$$\Phi = A\cdot B_\perp$$​​

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Induktionsgesetz

​Das durch das veränderte Magnetfeld erzeugte elektrische Wirbelfeld verschiebt die Elektronen in der Drahtschleife und verursacht dadurch eine Verschiebung der Ladung. Es bildet sich ein positiver und ein negativer elektrischer Pol an den beiden Enden der Drahtschleife und damit eine Spannung, die wir Induktionsspannung $$U_{ind}$$​ nennen. Die Spannung ergibt sich durch die Änderung des magnetischen Flusses.

​$$U_{ind}=\dot{\Phi}$$

​Hinweis: Der Punkt über dem Formelzeichen zeigt immer eine zeitliche Änderung dieser Grösse an.

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Der Fluss kann verändert werden, indem man die eingeschlossene Fläche ändert $$\dot{A}$$ (durch Verformung der Schleife) oder indem man die Stärke oder Richtung des Magnetfeldes ändert $$\dot{B}_{\perp}$$. Falls beides der Fall ist, ergibt sich die resultierende Änderung des Flusses und damit die induzierte Spannung als die Summe beider Effekte.

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Rechte-Hand Regel

Die Ursache der Induktion liegt in der Lorentzkraft, wodurch geladene Teilchen, die sich durch ein Magnetfeld bewegen, beschleunigt werden. Dabei muss die Geschwindigkeit orthogonal zum Magnetfeld sein und die resultierende Lorentzkraft ist dann orthogonal zur Geschwindigkeit und zum Magnetfeld, entsprechend der Rechten-Hand Regel: Man bildet mit Daumen, Zeige- und Mittelfinger der rechten Hand ein Dreibein (drei orthogonale Richtungen). Wenn dann die Geschwindigkeit $$\vec{v}$$​ des mit Ladung $$q$$ geladenen Teilchens in Richtung Daumen und das Magnetfeld $$\vec{B}$$​ in Richtung Zeigefinger zeigt, dann wirkt die Lorentzkraft $$\vec{F}_L$$ in Richtung des Mittelfingers auf das Teilchen.

Zusatzinfo für höhere Klassen

Wie du aus der obigen Formel sehen kannst, ergibt sich die Induktionsspannung aus der Ableitung des magnetischen Flusses. Da dieser sowohl von der eingeschlossenen Fläche, als auch von der Stärke bzw. Richtung des Magnetfeldes abhängt ($$\Phi = A\cdot B_\perp$$​), wird die Produktregel zur Ableitung angewandt. Daraus ergibt sich die folgende Formel: 

​$$U_{ind} = \dot{\Phi} = \dot{A}\cdot B_\perp + A\cdot\dot{B}_\perp$$.​

 Bemerkung: Wenn man die Richtung des magnetischen Feldes ändert, verändert sich auch automatisch die Stärke des Anteils des Magnetfeldes, das zur Fläche orthogonal ist.

Die Lorentzkraft lässt sich formal mit dem Kreuzprodukt des Geschwindigkeit- und Magnetfeldvektors berechnen:

​$$\vec{F}_L = q\,\vec{v}\times\vec{B}$$​​

Die Stärke der Kraft ergibt sich durch Multiplikation der Beträge der drei Grössen.

Beispiel

Auf einer rechteckigen Metallschiene befindet sich ein leitender verschiebbarer Stab parallel zur oberen Kannte. Senkrecht dazu ist ein konstantes Magnetfeld angelegt. Wenn wir nun den Stab nach unten verschieben, wirkt die Lorentzkraft auf die Elektronen im Stab. Da der Stromkreis unterbrochen ist, können sich die Elektronen nicht aus dem Stab bewegen. Sie sammeln sich am einen Ende des Stabes, was eine Spannung erzeugt.

Gegeben:  Stablänge $$l$$, Magnetfeld $$\vec{B}$$, Geschwindigkeit des Stabes $$\vec{v}$$​​

Gesucht:  Induktionsspannung in der Spule $$U_{ind}$$

Da die Elektronen den Stab nicht verlassen können, muss die resultierende Kraft verschwinden: ​$$\vec{F}_{tot} = \vec{F}_E + \vec{F}_L = 0,$$​ das heisst, die beiden Kräfte müssen sich entgegengesetzt sein:
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 $$\vec{F}_E = q\vec{E} = -q\,\vec{v}\times\vec{B} = -\vec{F}_L$$​​

Die Spannung ist die Potenzialdifferenz zwischen den beiden Enden des Stabes und daher gleich dem elektrischen Feld mal der Länge des Stabes.

​$$U_{ind} = \phi_A-\phi_B = E\cdot l$$​

​Die Geschwindigkeit ist senkrecht zum Magnetfeld und daher können wir direkt multiplizieren. Die eingeschlossene Fläche wird durch die Bewegung des Stabes verkleinert und daher ist die Veränderung der Fläche durch $$\dot{A} = -l\cdot v$$​​ gegeben. Wenn wir das einsetzen und die Ladung $$q$$​ wegkürzen erhalten wir:

$$\dfrac{U_{ind}}{l}=-v\cdot B \quad \Rightarrow \quad \underline{U_{ind} = -l\cdot v\cdot B = \dot{A}\cdot B}$$​​
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