Energieübertragung und Leistung

Definition

Wenn ein Kraftwerk Strom produziert, wie kommt dieser dann zu uns nach Hause in die Steckdose? Wie kann man die Energie, welche in einer Batterie steckt, für ein technisches Gerät nutzen? Und wie kann die Energie, welche in einer Glühbirne steckt, dazu verwendet werden, Licht zu machen? All dies ist möglich durch Energieübertragung. Dabei kann Energie auch zwischen völlig unterschiedlichen Arten übertragen werden, wie etwa die chemische Energie in Batterien, welche in elektrische Energie umgewandelt wird oder wie die elektrische Energie aus einer Glühbirne, welche in Licht umgewandelt wird. Die Maschinen, welche zur Energieübertragung beitragen, werden Kraftumwandler genannt.

Die Energieübertragung kann man quantifizieren mithilfe der physikalischen Grösse Leistung. Die Leistung hat das Formelzeichen $P$ (englisch: power). Die Leistung gibt die Änderungsrate der Energie an. Man kann sie wie folgt berechnen:

$P=\frac{\Delta E}{\Delta t}=\dot E$

Hierbei steht $\Delta E$ für die übertragene Energie (in Joule, $J$ ) und $\Delta t$ ist das Zeitintervall, in welchem die Energieübertragung stattgefunden hat (in Sekunden, $s$ )

Die Einheit der Leistung ist Watt ( $W$ ). Es gilt: $1\ W=1\ \frac{J}{s}$ .

Beispiel

Eine LED Glühbirne hat eine Leistung von $5 \ W$ . Wie viel Energie benötigt die Glühbirne, wenn sie $4$ Stunden lang leuchtet? Dazu wird zunächst die Formel der Leistung nach der Energiemenge umgestellt:

$\begin{aligned}P&=\frac{\Delta E}{\Delta t} \qquad |\cdot \Delta t \\P\cdot \Delta t&=\Delta E\end{aligned}$ 

Nun werden die gegebenen Werte eingesetzt:

$\underline{\Delta E}=5 \ W \cdot 4 \ h=5 \ W \cdot 240 \ \text{min}=5 \ W \cdot 14 \ 400 \ s=72 \ 000 \ W\cdot s =72 \ 000 \ J= \underline{72 \ kJ}$

Die Glühbirne benötigt eine Energie von $72 \ kJ$ .

In der Technik wird häufig statt der Leistung die Energie angegeben. Dabei betrachtet man die Energieübertragung so, dass die entsprechende Maschine für eine bestimmte Zeit, beispielsweise für eine Stunde, arbeitet und dabei Energie überträgt. Die Energiemenge, welche die Maschine in der Zeit übertragen hat, wird dann als „eine Wattstunde“ ( $W \cdot h$ ) oder als eine „Kilowattstunde“ ( $kW\cdot h$ ) bezeichnet, je nach Grösse der Energiemenge. Auch gebräuchlich ist in diesem Zusammenhang die „Wattsekunde“ ( $W\cdot s$ ). Für diese Einheiten gilt:

$\begin{aligned}1 \ W \cdot s&=1 \ J ; \\ 1 \ kW\cdot h= 1\ 000 \ W &\cdot 3 \ 600 \ s=3{,}6\cdot 10^6 \ J\end{aligned}$

Leistung berechnen

Die Leistung lässt sich berechnen mithilfe der aus der Mechanik bekannten Formeln:

Grösse	Gleichung	Einheit
Leistung	$P=\dfrac{\Delta E}{\Delta t}=\dfrac{W}{\Delta t}$	$1 \ W$
Kraft	$F=m\cdot a$	$1 \ N$
Arbeit	$\begin{aligned}W&=\Delta E \\\Delta E&=F\cdot \Delta s \end{aligned}$	$1 \ J$
Geschwindigkeit	$v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$	$1 \ \frac{m}{s}$

Damit ergeben sich für die Leistung eine weitere Formel zur Berechnung:

$P=\dfrac{\Delta E}{\Delta t}=F\cdot \dfrac{\Delta s}{\Delta t}=F\cdot v$

Beispiel:

Die Motorleistung eines Autos, das mit einer konstanten Geschwindigkeit von $200 \ \frac{km}{h}$ fährt, beträgt $100 \ kW$ . Wie gross ist die Antriebskraft, welche zur Aufrechterhaltung der Bewegung notwendig ist?

Dazu wird die Formel für die Leistung unter der Tabelle verwendet. Diese wird nach der Kraft umgestellt:

$\begin{aligned}P&=F\cdot v \qquad |\div v \\\frac{P}{v}&=F \end{aligned}$ 

Nun werden die gegebenen Werte eingesetzt:

$\underline{F}=\dfrac{100 \ kW}{200 \ \frac{km}{h}}=\dfrac{100 \ 000 \ W}{55{,}6 \ \frac{m}{s}}=\underline{1 \ 798 \ N \approx 1,8 \ kN}$

Die Antriebskraft des Autos beträgt also $1{,}8 \ kN$ .

Wirkungsgrad

Menschen sind stets darum bemüht, mehr Energie aus Dingen herauszuholen. Am liebsten würden sie alles an Energie nutzen können, die in Gegenständen steckt. Schon seit vielen Jahrhunderten gibt es Träume von Maschinen, die einmal angetrieben werden und dann ohne weitere Energiezufuhr ewig weiter arbeiten, oder Energie aus dem Nichts erzeugen können, sogenannte Perpetuum Mobiles.

Doch da macht ihnen die Physik einen Strich durch die Rechnung. Solche Maschinen sind in der Praxis nicht möglich. In jedem Fall ist die Energie, welche man in einen Kraftumwandler hineinsteckt, also die aufgewendete Energie ( $\Delta E_{\text{auf}}$ ) grösser, als die Energie, welche man aus dem Kraftumwandler herausbekommt, also der nutzbaren Energie ( $\Delta E_{\text{nutz}}$ ). Der Quotient zwischen den beiden Grössen beschreibt eine weitere physikalische Grösse, nämlich den Wirkungsgrad $\eta$ :

$\eta=\dfrac{\Delta E_{\text{nutz}}}{\Delta E_{\text{auf}}}$

Der Wirkungsgrad ist eine Zahl, welche immer zwischen $0$ und $1$ (bzw. zwischen $0 \ \%$ und $100 \ \%$ ) liegt. Der Wirkungsgrad hat keine Einheit.

Doch wohin geht die Energie, welche bei einem Kraftumwandler „verloren geht“ eigentlich? Die Energie, welche in einen Kraftumwandler gesteckt wird, die allerdings nicht als nutzbare Energie herauskommt, geht meistens in Form von Reibung verloren. Weitere Verluste bestehen in Wärmeentwicklung.

Beispiel:

Die im ersten Beispiel beschriebene Glühbirne, welche in $4$ Stunden Verwendungszeit eine Energie von $72 \ kJ$ aufwendet, hat einen Wirkungsgrad von nur etwa $5 \%$ . Der Rest der Energie wird in Wärme umgewandelt. (Das ist nicht nur bei dieser Glühbirne so, sondern bei den meisten Glühbirnen läuft es darauf hinaus.) Wie gross ist dann die Energie, welche man tatsächlich nutzen kann?

Dazu wird zunächst die Formel für den Wirkungsgrad umgestellt:

$\begin{aligned}\eta&=\dfrac{\Delta E_{\text{nutz}}}{\Delta E_{\text{auf}}}\qquad |\cdot \Delta E_{\text{auf}}\\\eta\cdot \Delta E_{\text{auf}}&=\Delta E_{\text{nutz}}\end{aligned}$

Nun werden die gegebenen Zahlenwerte eingesetzt:

$\underline{\Delta E_{\text{nutz}}}=\eta\cdot \Delta E_{\text{auf}}=0{,}05\cdot 72 \ kJ=\underline{3{,}6 \ kJ}$

Die Glühbirne strahlt Licht mit einer Energie von $3{,}6 \ kJ$ aus.

Kraftumwandler

Richtungsänderung

Die einfachste Form eines Kraftumwandlers besteht darin, eine Kraft, welche ursprünglich in eine bestimmte Richtung geht, in eine andere Richtung umzulenken. Wenn man beispielsweise ein kleines Spielzeugauto an einer Schnur hinter sich her zieht, dann verläuft die aufgewendete Kraft $\overrightarrow{F}_Z$ (Z wie Zugkraft) entlang der Schnur gerade nach oben. Die Kraft, welche bei dem Auto allerdings ankommt, ist eine Kraft, die senkrecht nach vorne (in Fahrtrichtung) wirkt. Ihr Betrag ist $F$ . Der Winkel zwischen den beiden Kraftrichtungen wird mit $\alpha$ bezeichnet. Die resultierende Kraft lässt sich wie folgt berechnen:

$F=F_Z\cdot \cos(\alpha)$

Da gilt $\cos(90°)=0$ , wird auf das Auto keine Kraft (in Bewegungsrichtung) übertragen, wenn man es senkrecht nach oben zieht.

In diesem Fall kann die Energie, welche auf das Auto wirkt, berechnet werden mit:

$\Delta E=F_Z\cdot s \cdot \cos(\alpha)$

Flaschenzug

Ein Flaschenzug ist ein mechanischer Kraftwandler, welcher aus einem langen Seil und Rollen besteht. Er dient dazu, schwere Dinge mit wenig Kraftaufwand anzuheben. Dabei spielt die Anzahl von tragenden Seilen $n$ eine wichtige Rolle. Die tragenden Seile sind Bereiche des langen Seils, welche die zu Rolle an der tragenden Last mit der Rolle verbinden, welche an der Decke befestigt ist. Je mehr solche einzelnen Teilstücke man hat, desto weniger Zugkraft $F_Z$ benötigt man, um die Last anzuheben. Jedoch verhält es sich auch so, dass dann die Zugstrecke $s_Z$ sich immer mehr verlängert.

Dies folgt einer grundlegenden Regel der Mechanik: „Was man an Kraft einspart, muss man an Weg zusetzen.“

Die Kraft, welche die Last durch ihr Gewicht hat, wird als Lastkraft $F_L$ bezeichnet. Die Strecke, welche die Last (nach oben) zurücklegt durch den Flaschenzug, ist die Laststrecke $s_L$ .

Für den Flaschenzug verwendet man die folgenden Formeln:

$\begin{aligned}F_Z&=\frac{1}{n}\cdot F_L \\s_Z&=n\cdot s_L \\F_Z\cdot s_Z&=F_L\cdot s_L\end{aligned}$

Beispiel:

Wie viele tragende Seile benötigt man, wenn man ein Auto, welches $1 \ 200 \ kg$ wiegt mithilfe eines Flaschenzugs hochheben möchte und eine Kraft von $150 \ N$ dafür aufwenden möchte? Wie lang ist die Zugstrecke, wenn man das Auto um $1 \ m$ anheben möchte? 

Dazu wird zunächst die Lastkraft berechnet. Diese entspricht der Gewichtskraft des Autos.

$F_L=F_G=m\cdot g= 1 \ 200 \ kg \cdot 9{,}81 \frac{m}{s^2}=11 \ 772 \ N$ 

Nun wird die erste Formel nach $n$ umgestellt:

$\begin{aligned}F_Z&=\frac{1}{n}\cdot F_L \qquad | \cdot n\\F_Z \cdot n&=F_L \qquad \quad \ \ |\div F_Z \\n&=\frac{F_L}{F_Z}\end{aligned}$ 

Dann werden die gegebenen Werte eingesetzt:

$\underline{n}=\frac{F_L}{F_Z}=\frac{11 \ 772 \ N}{150 \ N}=\underline{78{,}48 \approx79}$ 

In diesem Fall empfiehlt es sich, aufzurunden, da die Kraft ausreichend reduziert werden soll. Es sind also $79$ tragende Seile nötig.

Nun soll noch der Zugweg berechnet werden. Dazu kann man direkt die zweite Formel verwenden:

$\underline{s_Z}=n \cdot s_L=79 \cdot 1 \ m=\underline{79 \ m}$ 

Man muss also das Seil um $79 \ m$ ziehen, damit sich das Auto einen Meter in die Luft bewegt.