Eigenfrequenzen von Feder- und Fadenpendel

Eigenfrequenz

Jedes schwingende System besitzt eine Eigenfrequenz. Ist ein schwingendes System sich selbst überlassen, schwingt es bei genau dieser Frequenz.

Beispiel

Wenn Du eine Schaukel auslenkst und loslässt, wirst Du feststellen, dass diese immer bei der gleichen Frequenz schwingt, nämlich bei ihrer Eigenfrequenz.

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Rückstellkraft

Betrachten wir ein Pendel, so sorgt die Rückstellkraft $$F_R$$ dafür, dass das Pendel zurück in seine Ruhelage gelangt. Die Rückstellkraft wird grösser, je weiter das Pendel von der Ruhelage ausgelenkt wird. Irgendwann ist diese so gross, dass das Pendel umdreht und zurückschwingt.

Wegen der Trägheit des Pendels schwingt dieses aber über die Ruhelage hinaus: Das Resultat ist eine Schwingung des Pendels um die Ruhelage.

Beispiel

Beim Federpendel wird die Rückstellkraft durch die Feder aufgebracht, die auseinander gezogen oder zusammen gedrückt wird.

Beim Fadenpendel ist die Rückstellkraft die Gewichtskraft.

Fadenpendel

Bei dem Fadenpendel wird die Eigenfrequenz $$f_0$$​ des Pendels durch die Länge $$l$$ des Pendels bestimmt. Auf das Pendel wirkt die Gewichtskraft $$F_g = m \cdot g$$​. Die Eigenfrequenz ist dann:

​$$f_0 = \dfrac{1}{2\pi}\cdot \sqrt{\dfrac{g}{l}}$$

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Die Voraussetzung für diese Gleichung ist, dass sich die Rückstellkraft linear verhält, also $$F_R(x) = -k \cdot x$$. Dann führt das Pendel nämlich eine harmonische Schwingung aus. Mithilfe eines Fadenpendels kannst Du also die Erdbeschleunigung messen. Am einfachsten bestimmst Du dazu die Periodendauer $$T_0 = \frac{1}{f_0}$$​, also:

​$$T_0 = 2\pi\cdot \sqrt{\dfrac{l}{g}}$$​​

Beispiel

Du sitzt auf einer Schaukel. Die Länge der Schaukel beträgt $$2\,\text{m}$$. Wie oft pro Sekunde wirst Du hin und her schwingen, wenn Du die Schaukel nur einmal anstösst? (Luftwiderstand und Reibung werden vernachlässigt)

Gegeben: Länge $$l = 2\,\text{m}$$

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Gesucht: Eigenfrequenz $$f_0$$

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Lösung:

Nur alleine die Länge der Schaukel ist entscheidend. Du berechnest die Eigenfrequenz der Schaukel mithilfe der obigen Gleichung:

$$\underline{f_0} = \dfrac{1}{2\pi}\cdot \sqrt{\dfrac{g}{l}} = \dfrac{1}{2\pi} \cdot \sqrt{\dfrac{9,81\,\text{m}/\text{s}^2}{2\,\text{m}}} = \underline{0,35\,\text{Hz}}$$

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Du schwingst also einmal alle drei Sekunden.

Federpendel

Die Eigenfrequenz des Federpendels wird durch die Masse $$m$$​ und die Federkonstante $$D$$ bestimmt. Bei einem hängenden Federpendel wirken die Gewichtskraft und die Federkraft auf das Pendel. Wie beim Fadenpendel ist die Federkraft auch linear zur Auslenkung, also $$F_R(x) = -D\cdot x$$​. Die Eigenfrequenz des Federpendels ist:

​$$f_0= \dfrac{1}{2\pi}\cdot \sqrt{\dfrac{D}{m}}$$

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Sie wird also ganz ähnlich wie beim Fadenpendel berechnet. Du kannst daraus auch die Periodendauer berechnen und erhältst:

​$$T_0 = 2\pi\cdot \sqrt{\dfrac{m}{D}}$$​​