Freie Ladungsträger im elektrischen Feld

Das Wichtigste in Kürze

Um das Verhalten von freien Ladungsträgern zu untersuchen, eignen sich freie Elektronen gut, da sie durch den glühelektrischen Effekt leicht erzeugt werden können.

Demnach treten aus Metalloberflächen Elektronen aus, wenn man sie ausreichend erhitzt. Dieser Effekt wird auch in der Elektronenstrahlröhre zur Erzeugung von Elektronen verwendet.

Elektronenstrahlröhre

In einer Elektronenstrahlröhre wird die Kathode $$K$$​ erhitzt, wodurch freie Elektronen erzeugt werden. Diese Elektronen werden durch ein elektrisches Feld mit der Beschleunigungsspannung $$U_a$$ zur Anode $$A$$​ hin beschleunigt. Dort treten sie gebündelt durch die runde Öffnung der Anode aus und treffen nach Durchlaufen des Feldes eines Ablenkkondensators auf den Leuchtschirm der Röhre. ​

Wir wissen, dass die elektrische Energiezunahme $$\Delta E$$ der Elektronen mithilfe der Potenzialdifferenz, die durchlaufen wird, berechnet werden kann:

​$$\Delta E = e \cdot (\phi_A - \phi_K) = e \cdot U_a$$​​

wobei $$e$$ die Elementarladung, $$\phi_A$$ das Potenzial an der Anode und $$\phi_K$$ das Potenzial an der Kathode ist.

Die verfügbare elektrische Energie wird in kinetische Energie der Elektronen umgewandelt:

$$\Delta E = E_{kin} \rightarrow e\cdot U_a = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$$

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Somit ergibt sich für die Endgeschwindigkeit $$v$$ der Elektronen, welche an der Anodenöffnung gemessen werden kann:

$$v = \sqrt{\dfrac{2\cdot e \cdot U_a}{m}}$$​​

Bewegung im homogenen Feld

Wie bereits festgestellt, wirken auf freie Ladungsträger im elektrischen Feld Kräfte. Dadurch kann man allgemein auch sagen, dass freie Ladungsträger im elektrischen Feld immer beschleunigt werden:

​$$a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{q \cdot E}{m}$$

Homogenes Längsfeld​

Bewegt sich ein freier Ladungsträger entlang der Feldlinien eines homogenen Feldes, so können die Gesetze der geradlinig, gleichmässig beschleunigten Bewegung angewandt werden. Ein positiver Ladungsträger wird in Richtung der Feldlinien beschleunigt, ein negativer in entgegengesetzter Richtung. 

Homogenes Querfeld

Tritt ein freier Ladungsträger senkrecht zu den Feldlinien eines homogenen Feldes in das Feld ein, so wird er parabelförmig abgelenkt. Die Bewegung erfolgt dann analog zu der beim waagrechten Wurf. In der Elektronenstrahlröhre treten die Elektronen mit einer Geschwindigkeit $$v_0$$ in das homogene, elektrische Feld des Plattenkondensators ein, welches senkrecht zu der Bewegungsrichtung der Elektronen befindet. Die Bewegung der Elektronen kann dann zerlegt werden in eine gleichmässige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit parallel zu den Kondensatorplatten (definiert als x-Richtung) und einer konstant beschleunigten Bewegung senkrecht zu den Kondensatorplatten (definiert als y-Richtung):

​$$s_x = v_0 \cdot t$$ 

$$s_y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$$

Setzt man die eine Gleichung in die andere ein, so ergibt sich für die Bahnkurve der Elektronen:

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​$$s_y = \dfrac{1}{2} \dfrac{a}{v_0^2} \cdot s_x^2$$

Beispiel

Elektronen werden durch eine Beschleunigungsspannung von $$U_a = 5\,kV$$ zur Anode beschleunigt. Mit welcher Geschwindigkeit passieren die Elektronen die Anodenöffnung?

Gegeben: Beschleunigungsspannung $$U_a = 5\,kV$$

Gesucht: Geschwindigkeit der Elektronen $$v_e$$

Lösung: Verwende die oben hergeleitete Formel und setze die Werte ein.

$$v = \sqrt{\dfrac{2\cdot e \cdot U_a}{m}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,C\cdot 5000\,V}{9{,}1 \cdot 10^{-31}kg}} \approx 42 \cdot 10^6 \,\frac{m}{s} \approx \underline{150\,000\,000\,\frac{km}{h}}$$​​

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