Stehende Welle: Entstehung und Wellenlänge

Das Wichtigste in Kürze

Eine stehende Welle entsteht, wenn sich zwei fortschreitende Wellen, die sich in entgegengesetzte Richtungen und mit derselben Frequenz bewegen, überlagern. Ein Schwingungsknoten ein Punkt minimaler Auslenkung. Ein Schwingungsbauch ist ein Punkt maximaler Auslenkung.

Entstehung von stehenden Wellen

Eine stehende Welle entsteht, wenn sich zwei fortschreitende Wellen, die sich in entgegengesetzte Richtungen und mit der gleichen Frequenz bewegen, überlagern. Idealerweise sollten auch die Amplituden der Wellen gleich sein.

Wenn sich die Wellen überlagern, gibt es Punkte, an denen sie gegenphasig sind. An diesen Punkten heben sich ihre Auslenkungen auf und sie bilden einen Punkt, der immer eine Auslenkung (Amplitude) von Null hat. Diesen Punkt nennt man einen Schwingungsknoten.

Es gibt auch Punkte, an denen die Wellen in Phase sind. An diesen Punkten addieren sich die Auslenkungen und bilden einen Punkt, der immer die maximale Auslenkung hat. Diesen Punkt nennt man den Schwingungsbauch.

Beispielbild:

Der Schwingungsbauch schwingt zwischen der positiven grössten Amplitude und der negativen grössten Amplitude. Der Knoten oszilliert überhaupt nicht.

Der Abstand zwischen zwei benachbarten Schwingungsbäuchen ist gleich der halben Wellenlänge der ursprünglichen progressiven Wellen, also $$\frac{\lambda}{2}$$. Dies entspricht auch dem Abstand zwischen zwei benachbarten Knotenpunkten. Die Frequenz der stehenden Welle ist die gleiche wie die Frequenz der ursprünglichen fortschreitenden Wellen.

Bei einer stehenden Welle findet keine Nettoenergieübertragung statt.

Beispiel

Musikinstrumente nutzen stehende Wellen, um Musiknoten/Klang zu erzeugen. Eine Gitarre zum Beispiel erzeugt stehende Wellen, wenn die gespannte Saite an einer Stelle gezupft wird.

​​Wellenlänge von stehenden Wellen

Die Wellenlänge der stehenden Welle hängt davon ab, ob der Wellenträger feste oder lose Enden hat. Schwingst Du zum Beispiel mit der Hand ein Seil, sodass eine stehende Welle entsteht, so gibt es ein festes Ende (da wo Du das Seil festhältst) und ein loses. 

Hat ein Wellenträger entweder zwei lose oder zwei feste Enden, so ergibt sich für die Wellenlänge der erzeugten stehenden Welle:

​$$\lambda_n = \dfrac{2L}{n},$$

wobei $$n$$​ eine beliebige ganze Zahl ist und $$L$$​ die Länge des Wellenträgers.

Hat ein Wellenträger ein festes und ein loses Ende, so ergibt sich für die Wellenlänge der erzeugten stehenden Welle:

​$$\begin{aligned}\lambda_n = \dfrac{4L}{2n+1}\end{aligned}$$

Hinweis

Am festen Ende kommt es immer zum Phasensprung, weshalb sich die einlaufende und reflektierte Welle überlagern und gegenseitig "auslöschen"; es entsteht ein Schwingungsknoten. Am losen Ende hingegen kommt es nicht zum Phasensprung; es entsteht ein Schwingungsbauch.

Grafische Darstellung von stehenden Wellen

Eine stehende Welle kann zu verschiedenen Zeiten mithilfe von Weg-Zeit-Diagrammen dargestellt werden. Das Wellenprofil (eine Momentaufnahme, wie die Welle aussieht) ändert sich während des Zyklus der Welle. Dies hängt von der relativen Position der beiden ursprünglichen fortschreitenden Wellen ab.

Beispielbild:

Jedes Teilchen auf der stehenden Welle zwischen zwei benachbarten Knotenpunkten erreicht zur gleichen Zeit seine maximale positive Auslenkung. Das bedeutet, dass alle diese Teilchen in Phase sind, obwohl sie unterschiedliche maximale positive Auslenkungen haben.

Diese Teilchen sind gegenphasig mit den Teilchen auf der anderen Seite des Knotens. Das liegt daran, dass sie ihre maximale positive Auslenkung zur gleichen Zeit erreichen wie die anderen Teilchen, die ihre maximale negative Auslenkung erreichen.

Stationäre Wellen und fortschreitende Wellen

Stationäre Wellen haben andere Eigenschaften als fortschreitende Wellen.