Kondensator und Spule im Wechselstromkreis

Kondensator und Spule verhalten sich in einem Wechselstromkreis genau umgekehrt wie in einem Gleichstromkreis. Während der Kondensator im Gleichstromkreis einen unüberwindbaren Widerstand hat und die Spule keinen, verringert sich mit steigender Frequenz des Wechselstroms der Widerstand des Kondensators und der Widerstand der Spule steigt. Zudem führen Kondensator und Spule in einem Wechselstromkreis zu einer Phasenverschiebung von Strom und Spannung.

Ohmscher Widerstand

Ein ohmscher Widerstand hingegen verhält sich in einem Wechselstromkreis gleich wie im Gleichstromkreis. Durch Unregelmässigkeiten in der Gitterstruktur eines Leiters werden die Elektronen in ihrer Bewegung behindert. Dies geschieht unabhängig von der Frequenz und es entsteht keine Phasenverschiebung.

Kapazitiven Widerstand

Beim Wechselstrom wird der Kondensator ständig geladen, entladen und wieder in die andere Richtung geladen. Daher kann ein Strom fliessen und der Widerstand ist nicht mehr unendlich gross. Je höher die Frequenz $$f$$ des Wechselstroms ist, desto schneller wird der Kondensator umgeladen und es kann mehr Strom fliessen. Daher ist der kapazitive Widerstand $$X_C$$​ umgekehrt proportional zur Frequenz. Je höher die Kapazität $$C$$​ eines Kondensators ist, desto mehr Ladungen kann der Kondensator bei einer bestimmten Spannung aufnehmen und daher mehr Strom fliessen, bis die kumulierten Ladungen den Stromfluss behindern. Der kapazitive Widerstand ist daher auch umgekehrt proportional zur Kapazität.

​$$X_C = \dfrac{1}{2\pi\cdot\omega\cdot C} = \dfrac{1}{\omega\cdot C}$$​​

Der Strom eilt bei einem Kondensator um $$\dfrac{\pi}{2}$$​ der Spannung voraus, da sich durch den Strom erst Ladungen am Kondensator sammeln müssen, bevor eine Gegenspannung entsteht.

Induktiver Widerstand

Durch den Wechselstrom kommt es bei einer Spule zur Selbstinduktion, die nach dem Lenz'schen Gesetz eine Spannung induziert, die der Veränderung entgegenwirkt. Daher wird der Stromfluss ausgebremst und es entsteht ein Widerstand. Die Frequenz ist die Änderungsrate des Stromes und deshalb verursacht eine höhere Frequenz eine stärkere Selbstinduktion und daher mehr induktiver Widerstand $$X_L$$. Die Induktivität $$L$$​ beschreibt, wie stark die induzierte Spannung bei einer gegebenen Änderung des Stromes ist. Da diese Induktionsspannung den Widerstand verursacht, wächst der induktive Widerstand proportional zur Induktivität.

​$$X_L = 2\pi\cdot f\cdot L = \omega\cdot L$$​​

In der Spule eilt die Spannung dem Strom um $$\dfrac{\pi}{2}$$​ voraus, da die Spannung erst den Elektronenfluss in Bewegung setzen muss, bevor der resultierende Strom dann ein Magnetfeld aufbaut, welches durch Selbstinduktion dann einen Gegenstrom erzeugt.

Zusatzinfo für höhere Klassen

Die Ladung an einem Kondensator ist gegeben durch: ​$$Q(t) = C\cdot U(t)$$​

Der Strom ist eine Ladungsverschiebung und daher gegeben durch die zeitliche Änderung der Ladung, das heisst:

​$$I(t) = \dot{Q}(t) = C\cdot\dot{U}(t)$$​​

Wenn du nun eine Wechselspannung $$U(t) = U_0\sin(\omega\cdot t)$$​ anlegst, erhältst du den Strom durch Ableiten der Spannung:

​$$I(t) = C\cdot\dfrac{dU}{dt} = C\cdot U_0\cdot\omega\cdot\cos(\omega\cdot t)$$​​

Spannung und Stromstärke hängen über $$U = R\cdot I$$​ mit dem Widerstand $$R$$​ zusammen und daher können wir den kapazitiven Widerstand berechnen, in dem wir die Scheitelwerte von Strom und Spannung einsetzen:

​$$X_C = \dfrac{U_0}{I_0} = \dfrac{U_0}{C\cdot U_0\cdot\omega} = \dfrac{1}{\omega\cdot C}$$​​

Du kannst nun das gleiche Vorgehen verwenden, um den induktiven Widerstand zu berechnen, mithilfe der Formel für die Induktionsspannung:

​$$U(t) = -U_{ind}(t) = L\cdot\dot{I}(t)$$​​

Wenn du einen Strom $$I(t) = I_0\sin(\omega\cdot t)$$​ fliessen lässt, erhältst du:

​$$U(t) = L\cdot\dfrac{dI}{dt} = L\cdot I_0\cdot\omega\cdot\cos(\omega\cdot t), \quad X_L = \dfrac{L\cdot I_0\cdot\omega}{I_0} = \omega\cdot L$$

Da $$\cos(\omega\cdot t) = \sin\left(\omega\cdot t + \dfrac{\pi}{2}\right)$$​ siehst du, dass die Ableitungen die oben erwähnten Phasenverschiebungen bestätigen.

Energieumwandlung

Durch die Behinderung der Elektronen in einem ohmschen Widerstand wird ein Teil ihrer kinetischen Energie in Wärme umgewandelt. Das heisst, elektrische Energie wird in thermische Energie umgewandelt und man bezeichnet diese Art von Widerstand als Wirkwiderstand.

Beim Kondensator und bei der Spule wird Energie im elektrischen oder magnetischen Feld vorübergehend gespeichert und ständig wieder an den Stromkreis zurückgegeben. Diese Widerstände nennt man Blindwiderstände.