Kreisbewegung: Winkelgeschwindikeit & -beschleunigung

Von einer Kreisbewegung spricht man, wenn ein Körper sich entlang einer Kreisbahn bewegt. Um auf der Kreisbahn zu bleiben, muss der Körper andauernd seine Richtung ändern. Im einfachsten Fall legt der Körper in der gleichen Zeit immer den gleichen Weg auf der Kreisbahn zurück. Dann spricht man von einer gleichförmigen Kreisbewegung.

Beispiel

Typische Kreisbewegungen sind: Ein Auto, das eine Kurve fährt, ein Karussell oder der Zeiger einer Uhr. Der Minutenzeiger einer Uhr macht eine gleichförmige Bewegung. Innerhalb von 60 Minuten macht er immer eine volle Umdrehung. 

Winkelgeschwindigkeit

Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, welcher Winkel $$\Delta\varphi$$ in der Zeit $$\Delta t$$ zurückgelegt wird. Die Winkelgeschwindigkeit wird mit $$\omega$$​ abgekürzt und ist definiert als:

​$$\omega = \dfrac{\Delta \varphi}{\Delta t}$$.

Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist $$[\omega] = \frac{1}{s}$$​.

Die Winkelgeschwindigkeit ist analog zur Geschwindigkeit einer geradlinigen Bewegung ($$v = \Delta s/ \Delta t$$) definiert.

Beispiel

Ein Auto fährt in 20 Sekunden eine Umdrehung in einem Kreisel. Was ist die Winkelgeschwindigkeit des Autos?

Gegeben: Umlaufdauer $$\Delta t = 20 \, s$$, Winkeländerung $$\Delta \varphi = 360^\circ$$.

Gesucht: Winkelbeschleunigung $$\omega$$​.

Lösung: Da das Auto eine volle Umdrehung macht, also $$360^\circ$$​ zurücklegt, ist $$\Delta \varphi = 360^\circ$$​. Du musst aber aufpassen, denn der Winkel wird in Bogenmass angegeben! Das heisst, du musst die $$360^\circ$$​ in Bogenmass umrechnen, also $$\Delta \varphi = 2\pi$$​ einsetzen. Das Auto fährt die Kurve in $$\Delta t = 20 \, s$$​, damit ergibt sich die Winkelgeschwindigkeit als:

​$$\underline{\omega} = \dfrac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \dfrac{2\pi}{20\,s} = \underline{0{,}31 \dfrac{1}{s}}$$​​

Gleichförmige Kreisbewegung

Wenn wie im obigen Beispiel eine gleichförmige Kreisbewegung vorliegt, dann kann die Winkelgeschwindigkeit mit der Umlaufzeit $$T$$​ berechnet werden:

​$$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$$​​

Hier wurde also nur $$\Delta \varphi = 2\pi$$​, also der volle Umlauf und $$\Delta t = T$$​, also die volle Umlaufzeit eingesetzt.

In Analogie zur Frequenz $$f=1/T$$​ wird die Winkelgeschwindigkeit $$\omega = 2\pi f$$ auch als Kreisfrequenz bezeichnet.

Aber Achtung! Die Einheit von der Frequenz ist $$[f] = 1\, \text{Hertz} = 1\, \text{Hz}$$​, die der Kreisfrequenz aber $$[\omega] = \frac{1}{s}$$​.

Winkelbeschleunigung

Bei der geradlinigen Bewegung hast du gelernt, dass die Beschleunigung als $$a = \Delta v / \Delta t$$​ definiert ist. Bei der Kreisbewegung funktioniert das genau gleich. Hier ist die Winkelbeschleunigung $$\alpha$$​ einfach als

​$$\alpha = \dfrac{\Delta \omega}{\Delta t}$$​​

definiert, also als die Änderung der Winkelgeschwindigkeit pro Zeit.

Bahngeschwindigkeit

Mit der Bahngeschwindigkeit drückt man aus, welche Strecke ein Körper auf einer Kreisbahn pro Zeit zurücklegt. Bei einem vollständigen Umlauf, ist die zurückgelegte Strecke gerade der Umfang der Kreisbahn $$s = 2\pi \cdot r$$, die Umlaufdauer ist wieder $$T$$. Dann ist die Bahngeschwindigkeit:

​$$v_B = \dfrac{s}{t} = \dfrac{2\pi r}{T} = \omega r$$​.

Eigentlich ist die Bahngeschwindigkeit ein Vektor $$\overrightarrow{v}_B$$​, der zu jeder Zeit tangential zur Bahn gerichtet ist.

Beispiel

Ein Auto fährt in 20 Sekunden eine Umdrehung in einem Kreisel mit 5 Meter Radius. Was ist die Bahngeschwindigkeit des Autos?

Gegeben: Umlaufdauer $$\Delta t = 20 \, s$$, Winkeländerung $$\Delta \varphi = 360^\circ$$ und Radius $$r = 5 \, m$$.

Gesucht: Bahngeschwindigkeit $$v_B$$.

Lösung: Da du die Umlaufdauer und den Radius kennst, kannst du das Problem leicht lösen:

​$$\underline{v_B} = \dfrac{2\pi r}{T} = \dfrac{2\pi \cdot 5\,m}{20\,s} = \underline{1{,}6 \frac{m}{s}}$$​​

Zentralbeschleunigung

Wie du weisst, ändert ein Körper auf einer Kreisbahn andauernd seine Richtung. Das heisst also nach dem ersten Newton'schen Gesetz, dass eine Kraft auf den Körper wirken muss! Nach $$F = m\cdot a$$​ wirkt also auch eine Beschleunigung, die sogenannte Zentralbeschleunigung $$a_Z$$. Du berechnest sie aus dem Radius $$r$$​ und der Bahngeschwindigkeit $$v_B$$​:

​$$a_Z = \dfrac{v_B²}{r}$$​​

Genau wie die Bahngeschwindigkeit ist auch die Zentralbeschleunigung ein Vektor $$\overrightarrow{a}_Z$$. Dieser zeigt aber immer in Richtung Kreismittelpunkt, steht also senkrecht auf $$\overrightarrow{v}_B$$ und ist parallel zur wirkenden Kraft .

Beispiel

Ein Sportwagen, der eine Kurve mit kleinem Radius $$r$$​ fährt, erfährt eine höhere Zentralbeschleunigung als ein Auto, das eine grosse Kurve fährt, denn die Zentralbeschleunigung $$a_Z$$​ ist umgekehrt proportional zum Radius $$r$$. Aus diesem Grund fahren Rennfahrer eine sogenannte Ideallinie, um den Radius der Kurve zu vergrössern und die wirkende Beschleunigung zu reduzieren.