Heisenberg'sche Unbestimmtheitsrelation

Jede Messung kommt mit einem Messfehler. Nach der klassischen Mechanik können wir jede Grösse unabhängig von anderen Grössen beliebig genau messen, das heisst den Messfehler beliebig klein halten, sofern eine Messtechnologie uns dies erlaubt. Nach der Quantenmechanik ist es allerdings unmöglich, den Aufenthaltsort $$x$$ sowie den Impuls $$p$$ eines Teilchens beliebig genau zu messen. Die Information ist schlicht und einfach nicht vorhanden. Diese Unbestimmtheit der Quantenteilchen ist beschrieben durch die Heisenberg'sche Unbestimmtheitsrelation, welche ein Minimum für das Produkt der beiden Messfehler $$\Delta x$$ und $$\Delta p$$​ vorschreibt:

​$$\Delta x\cdot\Delta p \geqslant \dfrac{h}{4\pi}$$​​

Bemerkung: Da es unmöglich ist, beide Grössen gleichzeitig genauer zu messen, spricht man vor einer Unbestimmtheit, da die Ursache physikalischer Natur und nicht mangelnde Technologie ist.

Impuls-Orts-Unschärfe

In der klassischen Mechanik wird ein Teilchen durch seinen Aufenthaltsort und seine Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt beschrieben. In der Quantenmechanik hat ein Teilchen einen Zustand, der entweder in Ortsdarstellung oder Impulsdarstellung durch die Wellenfunktion beschrieben ist.

Ortsdarstellung: $$\psi(\vec{x},t)$$, Impulsdarstellung: $$\psi(\vec{p},t)$$​​

Bemerkung: Der Impuls ist gegeben durch die Masse mal die Geschwindigkeit des Teilchens. Da die Masse eines Teilchens konstant ist, kann der Impuls zum Vergleich mit der klassischen Mechanik als Repräsentant der Geschwindigkeit angesehen werden.

​$$\vec{p} = m\cdot\vec{v}$$​​

Die Wellenfunktion ist eine komplexe Funktion und nur ihr Betragsquadrat hat eine physikalische Bedeutung. In der Ortsdarstellung gibt die Fläche unter einem Abschnitt der Kurve die Wahrscheinlichkeit an, dass sich das Teilchen in dem Abschnitt aufhält. Die Fläche unter der gesamten Kurve ist immer eins. In der Impulsdarstellung gibt die Fläche unter dem Betragsquadrat in einem Abschnitt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Impuls des Teilchens in diesem Abschnitt liegt.

Wenn nun die Wellenfunktion in der Ortsdarstellung sehr schmal ist, ist das Teilchen sehr gut lokalisiert, also wir wissen mit hoher Genauigkeit wo es sich befindet. Nach der Unbestimmtheitsrelation ist die Impulsdarstellung dann delokalisiert und wir wissen daher nicht sehr genau, welchen Impuls das Teilchen hat. Die Wellenfunktion ist in dem Fall sehr breit verteilt.

Wenn wir die Position eines Teilchens sehr genau messen, dann wissen wir kaum etwas über dessen Impuls und die Wellenfunktion verschwimmt dann sehr schnell, da sich das Teilchen mit hohen Geschwindigkeiten, die wir nicht genau kennen, von der gemessenen Position entfernt. Die Unbestimmtheit wird also grösser.

Betragsquadrat der Wellenfunktion

Die komplexen Zahlen bilden eine Ebene, wobei der reelle Zahlenstrang auf der horizontalen Achse liegt und damit auch Teil der komplexen Ebene ist. Die vertikale Achse sind die rein imaginären Zahlen, das heisst reelle Zahlen mit der imaginären Einheit $$i$$ multipliziert, welche durch folgende Gleichung definiert ist:

​$$i^2 = -1$$​​

Eine allgemeine komplexe Zahl $$z$$​ ergibt sich aus der Kombination einer reellen mit einer rein imaginären Zahl: $$z = x + iy$$​, wobei sich die Addition nicht vereinfachen lässt. Die dazu konjugierte Zahl $$\bar{z}$$​ wechselt das Vorzeichen des imaginären Teils: $$\bar{z} = x-iy$$​.

Der Real- und Imaginär-Teil einer komplexen Zahl funktionierten gleich, wie der Cosinus und Sinus im Einheitskreis. ​

Das Betragsquadrat kann nun durch Multiplikation mit der konjugierten Wellenfunktion berechnet werden:

​$$|\psi(\vec{x},t)|^2 = \psi(\vec{x},t)\cdot\bar{\psi}(\vec{x},t) = Re[\psi]^2 - i^2Im[\psi]^2 = Re[\psi]^2 + Im[\psi]^2$$​​

Energie-Zeit-Unschärfe

Mit der Energie und der Zeit funktioniert das genauso. Du kannst auch hier die Zeit genau messen, zu der ein Ereignis, wie zum Beispiel ein Übergang in einen anderen Zustand, stattgefunden hat. Dann weisst du aber nicht genau, welche Energien das Teilchen hatte, oder du kennst die Energien genau, weisst aber nicht, wann der Übergang stattfinden wird.