Nombres complexes : équations polynomiales

Solutions complexes

Un polynôme de degré  admet au minimum  et au maximum  racines. Même si le polynôme ne possède pas de racine réelle, il peut admettre des racines complexes.

Équations du second degré

Un nombre réel élevé au carré est toujours positif. Cependant, un nombre complexe élevé au carré peut être négatif, par exemple $$i^2=-1$$​. Utilise cette propriété pour trouver des solutions complexes pour les équations de forme $$az^2+bz+c=0$$​.

MÉTHODE

Exemple 

Résous et factorise l’équation $$z^2-6z+13=0$$​.

Calcule le discriminant :

$$\mathrm{\Delta}=\left(-6\right)^2-4\times1\times13=-16$$​​

Comme  est négatif, l’équation possède deux solutions complexes :

$$z_1=\frac{-\left(-6\right)+i\sqrt{-\left(-16\right)}}{2\times1}=\frac{6+4i}{2}=\underline{3+2i}\\z_2=\frac{-(-6)-i\sqrt{-(-16)}}{2\times1}=\frac{6-4i}{2}=\underline{3-2i}$$​​

Tu peux factoriser le polynôme :

$$z^2-6z+13=\underline{(z-\left(3+2i\right))(z-\left(3-2i\right))}$$​​

Équations du troisième degré

Tu peux trouver les solutions d’un polynôme de degré trois $$az^3+bz^2+cz+d=0$$​ en le factorisant en deux polynômes à l’aide d’une racine connue.

MÉTHODE

Exemple

Résous et factorise l’équation ​, sachant que ​ est une racine.$$z^3-5z^2+9z-5=0$$$$z_1=1$$

Écris :

$$(z-1)(a^\prime z^2+b^\prime z+c^\prime)$$​​

Résous le système :

$$\begin{cases}1=a' \\-5=b'-a'\\9=c'-b'\\-5=-c'\end{cases}⇒ \begin{cases}a'=1\\b'=-4\\c'=5\end{cases}$$​​

Factorise le polynôme :

$$(z-1)(z^2-4z+5)$$​​

Résous maintenant l’équation :$$z^2-4z+5=0\$$​ 

Calcule le discriminant :

$$\mathrm{\Delta}=\left(-4\right)^2-4\times1\times5=-4$$​​

Comme  est négatif, l’équation possède deux solutions complexes :

$$z_2=\frac{-\left(-4\right)+i\sqrt{-\left(-4\right)}}{2\times1}=\frac{4+2i}{2}=2+i\\z_3=\frac{-(-4)-i\sqrt{-(-4)}}{2\times1}=\frac{4-2i}{2}=2-i$$​​

Les racines sont donc ; et .$$\underline{1}$$$$\underline{2+i}\$$​ $$\underline{2-i}$$​

Tu peux factoriser le polynôme :

$$z^3-5z^2+9z-5=\underline{(z-1)(z-\left(2+i\right))(z-\left(2-i\right))}$$​​

Équations du -ième degré $$\mathbf{z}^\mathbf{n}-\mathbf{a}^\mathbf{n}$$​

La méthode vue pour les équations du troisième degré se généralise aux équations de degré supérieur. Chaque racine que tu connais te permet de réduire le problème d’un degré. Avec $$n-2$$​ racines, tu peux donc réduire un polynôme de degré  à un problème du second degré.

Cas particulier : Polynôme de forme 

Une solution de l’équation $$z^n-a^n=0$$​ est $$a$$​, puisque $$a^n-a^n=0$$​. Tu peux donc factoriser $$z^n-a^n$$​ de la façon suivante :

$$z^n-a^n=\left(z-a\right)\left(\sum_{k=0}^{n-1}{a^kz^{n-1-k}}\right)=\left(z-a\right)\left(z^{n-1}+az^{n-2}+a^2z^{n-3}+\ldots+a^{n-2}z+a^{n-1}\right)$$​​

Exemple 

Factorise le polynôme ​.$$z^3-8$$

Retrouve la forme :$$z^n-a^n$$​

$$z^3-8=z^3-2^3$$​​

Factorise :

$$=(z-2)(z^2+2z+4)$$​​

Résous l’équation comme précédemment :$$z^2+2z+4=0\$$​ 

$$x_1=\frac{-2+i\sqrt{-(-12)}}{2\times1}=\frac{-2+2\sqrt3i}{2}=\underline{-1+\sqrt3i}\\x_2=\frac{-2-i\sqrt{-(-12)}}{2\times1}=\frac{-2-2\sqrt3i}{2}=\underline{-1-\sqrt3i}$$​​

Le polynôme se factorise ainsi :

$$z^3-8=\underline{(z-2)(z+1-\sqrt3i)(z+1+\sqrt3i)}$$​​