Épreuve et schéma de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli                

Définition

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire avec seulement deux résultats possibles, le « succès » et l’« échec ».

La probabilité d’un résultat est la probabilité complémentaire de l’autre. La probabilité d’avoir un « succès » est de $$p$$​, tandis que celle d’avoir un « échec » est égale à $$1-p$$​.

Note : L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est égale à la probabilité du « succès ».

Exemples

Le lancer d’une pièce à deux issues, pile ou face, est une épreuve de Bernoulli.

Si l’on cherche la probabilité d’obtenir pile, alors le « succès » est pile et l’« échec » est face.

Si la pièce est non truquée, les deux issues ont la même probabilité et l’espérance d’un lancer de pièce est de $$0,5$$​.

La probabilité de gagner à la tombola de l’école est de $$0,1$$​ et c’est une épreuve de Bernoulli.

Le « succès » de cet expérience est le fait de gagner tandis que l’ « échec » est celui de perdre. La probabilité de tirer un lot perdant est alors de $$0,9$$​.

Schéma de Bernoulli

Définition

Un schéma de Bernoulli est la répétition d’une épreuve de Bernoulli un nombre  de fois. Les épreuves de Bernoulli exécutées sont indépendantes les unes des autres et la probabilité est la même pour chaque répétition.

Exemples

Loi

La probabilité que pour $$n$$​ répétitions, le résultat se produise $$k$$​ fois :

Exemple

Une pièce truquée tombe sur pile $$20\%$$ du temps. Quelle est la probabilité de lancer $$5$$ fois pile en $$10$$ lancers ?

​$$P\left(X=5\right)=\binom{10}{5}\times{{0,2}^5\times\left(1-0,2\right)}^{\left(10-5\right)}=0,026$$​​