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Épreuve et schéma de Bernoulli

Épreuve et schéma de Bernoulli

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Enseignant: Elisa

Résumés

Épreuve et schéma de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli                

Définition

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire avec seulement deux résultats possibles, le « succès » et l’« échec ».

La probabilité d’un résultat est la probabilité complémentaire de l’autre. La probabilité d’avoir un « succès » est de pp, tandis que celle d’avoir un « échec » est égale à 1p1-p.

xix_i​​

P(X=xi){P(X=x}_i)​​

Succès (valeur 11)

pp​​

Echec (valeur 00)

1p=q1-p=q​​


Note : L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est égale à la probabilité du « succès ».


Exemples

Le lancer d’une pièce à deux issues, pile ou face, est une épreuve de Bernoulli.

Si l’on cherche la probabilité d’obtenir pile, alors le « succès » est pile et l’« échec » est face.

Si la pièce est non truquée, les deux issues ont la même probabilité et l’espérance d’un lancer de pièce est de 0,50,5.


La probabilité de gagner à la tombola de l’école est de 0,10,1 et c’est une épreuve de Bernoulli.

Le « succès » de cet expérience est le fait de gagner tandis que l’ « échec » est celui de perdre. La probabilité de tirer un lot perdant est alors de 0,90,9.



Schéma de Bernoulli

Définition

Un schéma de Bernoulli est la répétition d’une épreuve de Bernoulli un nombre  de fois. Les épreuves de Bernoulli exécutées sont indépendantes les unes des autres et la probabilité est la même pour chaque répétition.


Exemples

Une pièce de monnaie est lancée  fois.55

Schéma de Bernoulli, puisqu’il n’y a que deux résultats après chaque lancer et que la probabilité reste la même.

On tire une boule rouge ou bleue d’un sac cinq fois sans les remettre.

Pas un schéma de Bernoulli car la probabilité change après chaque tirage.


Loi

La probabilité que pour nn répétitions, le résultat se produise kk fois :

P(X=k)=(nk)×pk×(1p)(nk)P\left(X=k\right)=\binom{n}{k}\times{p^k\times(1-p)}^{(n-k)}​​

nn​​

Nombre d’exécutions

kk​​

Nombre de fois que le résultat se produit

pp​​

Probabilité du résultat


Exemple

Une pièce truquée tombe sur pile 20%20\% du temps. Quelle est la probabilité de lancer 55 fois pile en 1010 lancers ?

P(X=5)=(105)×0,25×(10,2)(105)=0,026P\left(X=5\right)=\binom{10}{5}\times{{0,2}^5\times\left(1-0,2\right)}^{\left(10-5\right)}=0,026​​





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Questions fréquemment posées sur les crédits

Qu'est-ce que le schéma de Bernoulli ?

Quelles sont les probabilités d'une épreuve de Bernoulli ?

Qu'est-ce que l'épreuve de Bernoulli ?

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