Points d’inflexion et convexité

Définition

Les points d'inflexion sont des points où la courbure du graphe passe d'une courbure convexe à une courbure concave ou vice versa.

Conseil : Lorsque la fonction sourit, elle est convexe ; lorsqu’elle est triste, elle est concave.

Mathématiques; Dérivation; Tle générale; Points d'inflexion et convexité

Note : Comme pour le tableau de variation avec les extremums et les dérivées premières, on peut faire un tableau résument la convexité et les points d’inflexion d’une fonction avec sa dérivée seconde.

Déterminer les points d’inflexion

Méthode

1.	Détermine la dérivée seconde $f''(x)$ .
2.	Calcule les racines de la dérivée seconde avec $f''(x)=0$ . Ce sont de potentiels points d’inflexion.
3.	Observe le signe de la dérivée seconde aux alentours des racines. Si et seulement si les signes sont différents des deux côtés, il s’agit d’un point d’inflexion.
4.	Calcule les valeurs de $y$ : Introduis les valeurs de $x$ des points d’inflexion dans la fonction $f$ pour obtenir les valeurs de $y$ correspondantes.
5.	Construis le tableau de variation de la fonction. *Note :* Si la dérivée seconde est négative, la fonction est concave sur cet intervalle. Si la dérivée seconde est positive, la fonction est convexe.

Exemple

Détermine le point d’inflexion de la fonction : $f(x)=x^3-3x^2-9x+27$

Calcule les dérivées première et seconde :
	Dérivée première : $f' (x)=3x^2-6x-9$
	Dérivée seconde : $f'' (x)=6x-6$
Trouve-les $x$ * pour lesquels* $f''(x)=0$ :
	$6x-6=0⇔x=1$
Détermine le signe de la dérivée seconde aux alentours de la racine :
	$f'' (0)=-6$
	$f''(2)=6$
Comme les signes sont différents autour de la valeur de $x$ * trouvée, il s’agit d’un point d’inflexion.*
Calcule la valeur $y$ correspondante :
	$f(1)=1^3-3×1^2-9×1+27=16$
Le point d’inflexion est (1;16).