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Points d'inflexion et convexité

Points d'inflexion et convexité

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Enseignant: Elisa

Résumés

Points d’inflexion et convexité 

Définition 

Les points d'inflexion sont des points où la courbure du graphe passe d'une courbure convexe à une courbure concave ou vice versa. 


Conseil : Lorsque la fonction sourit, elle est convexe ; lorsqu’elle est triste, elle est concave. 


Mathématiques; Dérivation; Tle générale; Points d'inflexion et convexité


Note : Comme pour le tableau de variation avec les extremums et les dérivées premières, on peut faire un tableau résument la convexité et les points d’inflexion d’une fonction avec sa dérivée seconde. 



Déterminer les points d’inflexion 

Méthode 

1.
Détermine la dérivée seconde f(x)f''(x)​.
2.
Calcule les racines de la dérivée seconde avec f(x)=0f''(x)=0​.
Ce sont de potentiels points d’inflexion.
3.
Observe le signe de la dérivée seconde aux alentours des racines. Si et seulement si les signes sont différents des deux côtés, il s’agit d’un point d’inflexion.
4.
Calcule les valeurs de yy​ :
Introduis les valeurs de xx​ des points d’inflexion dans la fonction ff​ pour obtenir les valeurs de yy​ correspondantes.
5.
Construis le tableau de variation de la fonction.
Note : Si la dérivée seconde est négative, la fonction est concave sur cet intervalle. Si la dérivée seconde est positive, la fonction est convexe.


Exemple  

Détermine le point d’inflexion de la fonction : f(x)=x33x29x+27f(x)=x^3-3x^2-9x+27 ​​


Calcule les dérivées première et seconde :
Mathématiques; Dérivation; Tle générale; Points d'inflexion et convexité

Dérivée première : f(x)=3x26x9f' (x)=3x^2-6x-9 ​​

Dérivée seconde : f(x)=6x6f'' (x)=6x-6 ​​
Trouve-les xx​ pour lesquels f(x)=0f''(x)=0 ​:

6x6=0x=16x-6=0⇔x=1 ​​
Détermine le signe de la dérivée seconde aux alentours de la racine :

f(0)=6f'' (0)=-6 ​​

f(2)=6f''(2)=6 ​​
Comme les signes sont différents autour de la valeur de xx​ trouvée, il s’agit d’un point d’inflexion.
Calcule la valeur yy correspondante : 

f(1)=133×129×1+27=16f(1)=1^3-3×1^2-9×1+27=16 ​​
Le point d’inflexion est (1;16). 


Mathématiques; Dérivation; Tle générale; Points d'inflexion et convexité


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Questions fréquemment posées sur les crédits

Quelle est la différence entre concave et convexe ?

Quand une fonction est convexe ?

Comment déterminer les points d'inflexion ?

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