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Composantes de vecteurs en 2D et 3D et combinaisons linéaires

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Enseignant: Clémence

Résumés

Composantes de vecteurs en 2D et 3D et combinaisons linéaires

Représentation 

Comment décrire les vecteurs avec des nombres :


2 dimensions

3 dimensions

a=(axay)\overrightarrow a = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix}​​

  • axa_x la composante en xx
  • aya_y​ la composante en yy

a=(axayaz)\overrightarrow a = \begin{pmatrix} a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}​​

  • axa_x​ la composante en xx
  • aya_y​ la composante en yy
  • aza_z​ la composante en zz
Mathématiques; Vecteurs; Tle générale; Composantes de vecteurs en 2D et 3D et combinaisons linéaires
Mathématiques; Vecteurs; Tle générale; Composantes de vecteurs en 2D et 3D et combinaisons linéaires



Longueur

Calcul de la longueur (ou norme) d’un vecteur :

2 DIMENSIONS

3 DIMENSIONS

a=ax2+ay2\lVert\overrightarrow a \rVert=\sqrt{a^2_x+a^2_y}​​
a=ax2+ay2+az2\lVert\overrightarrow a \rVert=\sqrt{a^2_x+a^2_y+a^2_z}​​



Vecteurs spéciaux

VECTEUR NUL 0\overrightarrow 0 

0=(000)\overrightarrow 0 = \begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}​​

VECTEUR OPPOSÉ

 v=(vxvyvz)\overrightarrow v = \begin{pmatrix} v_x\\v_y\\v_z \end{pmatrix}v=(vxvyvz)- \overrightarrow v=\begin{pmatrix}-v_x\\-v_y\\-v_z\end{pmatrix}

VECTEUR UNITAIRE

Vecteur de longueur « 11 ». Vecteur unitaire de v\overrightarrow v : vu=1v(vxvyvz)\overrightarrow v_u=\frac{1}{\lVert\overrightarrow v \rVert}\begin{pmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{pmatrix}



Points et vecteurs

Vecteur position (rayon vecteur)

On peut décrire chaque point PP dans le système de coordonnées avec un vecteur position.

Le vecteur position va de l’origine au point PP.

On écrit OP\overrightarrow {OP}.

Valable en 2D et 3D.

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Exemple 

Vecteur position de P(3;1;5)P(3;1;5)

OP=(315)(000)=(315)\overrightarrow {OP}=\begin{pmatrix}3\\1\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\5\end{pmatrix}​​


Vecteur entre deux points

Le vecteur AB\overrightarrow{AB} va du point AA au point BB. Il indique la distance en chaque coordonnée.


Calcul :

AB=0B0A=(bxaxbyaybzaz)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}-\overrightarrow{0A}=\begin{pmatrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\end{pmatrix}​​

Valable en 2D et 3D.

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Exemple

Vecteur de A(3;1;5)A\left(3;1;5\right) à B(2;4;2)B(2;4;2)


AB=0B0A=(234125)=(133)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}-\overrightarrow{0A}=\begin{pmatrix}2-3\\4-1\\2-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\-3\end{pmatrix}​​







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Questions fréquemment posées sur les crédits

Peut-on décrire un vecteur avec des nombres ?

Comment calculer la longueur d'un vecteur en trois dimensions ?

Qu'est-ce qu'un vecteur de position ?

Beta

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